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Vidéo de question : Utilisation de la loi des sinus pour exprimer une longueur inconnue à l’aide de la fonction sinus Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle où 𝑎 = 96 et 𝑚∠𝐵 = 3𝑚∠𝐴 = 90°. Déterminez la longueur de 𝑐 en donnant la réponse en fonction de sin.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝑎 égale 96 et l’angle 𝐵 égale trois fois l’angle 𝐴, égale 90 degrés. Déterminez la longueur de 𝑐 en donnant la réponse en fonction de sinus.

Il est toujours judicieux de commencer par faire un dessin. Il n’a pas besoin d’être à l’échelle, mais il doit être à peu près proportionnel, ce qui permet de vérifier la pertinence des réponses obtenues. On sait que la mesure de l’angle 𝐵 est égale à trois fois la mesure de l’angle 𝐴, et que ces deux expressions sont égales à 90 degrés. Bien sûr, cela signifie que l’angle 𝐵 mesure 90 degrés. C’est un angle droit.

Examinons maintenant 𝐴. Puisque trois fois l’angle 𝐴 égale 90 degrés, nous pouvons calculer l’angle 𝐴 en divisant par trois. Nous obtenons que l’angle 𝐴 mesure 30 degrés. Nous pouvons également calculer l’angle 𝐶. La somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Nous pouvons donc retrancher 90 et 30 de 180. Nous obtenons que l’angle 𝐶 mesure 60 degrés.

A présent, nous allons nommer les côtés du triangle. Le côté opposé à l’angle 𝐴 est 𝑎 minuscule. Le côté opposé à l’angle 𝐵 est 𝑏 minuscule. Et le côté opposé à l’angle 𝐶 est 𝑐 minuscule. Nous cherchons la longueur 𝑐. En principe, nous utiliserions la trigonométrie d’un triangle rectangle. Mais l’énoncé demande de l’exprimer en fonction de sinus.

Utilisons donc plutôt la loi des sinus, qui dit que 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 égale 𝑐 sur sinus 𝐶. Ou encore sinus 𝐴 sur 𝑎 égale sinus 𝐵 sur 𝑏 égale sinus 𝐶 sur 𝑐. Puisque nous cherchons la longueur d’un côté, nous utiliserons la première forme. En fait, nous avons le choix entre les deux formes de cette formule. Mais les calculs seront un peu moins compliqués en utilisant la première.

Rappelez-vous que nous n’utilisons en général que deux parties de cette formule. Ici, nous connaissons la longueur du côté 𝑎 et nous essayons de trouver une expression du côté 𝑐. Nous allons donc utiliser 𝑎 sur sinus 𝐴 et 𝑐 sur sinus 𝐶.

Remplaçons les valeurs connues du triangle dans la formule. Nous obtenons 96 sur sinus 30 est égal à 𝑐 sur sinus 60. Nous souhaitons isoler 𝑐. Nous allons donc multiplier les deux côtés de cette équation par sinus 60. Ce qui donne 𝑐 égale 96 sur sinus 30, le tout multiplié par sinus 60. Rappelons que sinus 60 peut s’écrire sinus 60 sur un. Ensuite, en multipliant le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction, nous obtenons 96 fois sinus 60. Et en multipliant les deux dénominateurs, nous obtenons sinus 30.

On nous demande une réponse exprimée en fonction de sinus. Nous avons donc terminé. Le côté 𝑐 est égal à 96 fois sinus 60 sur sinus 30.

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