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Vidéo de question : Déterminer le quadrant dans lequel se situe un angle compte tenu de deux de ses rapports trigonométriques Mathématiques

Déterminez le quadrant dans lequel 𝜃 se trouve si cos 𝜃 < 0 et sin 𝜃 < 0.

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Transcription de vidéo

Déterminez le quadrant dans lequel se trouve 𝜃 si cosinus 𝜃 est inférieur à zéro et sinus 𝜃 est inférieur à zéro.

Bien, si cos 𝜃 et sin 𝜃 sont inférieurs à zéro, cela signifie que cos 𝜃 et sin 𝜃 sont tous deux négatifs. Alors, en quoi cela nous aide-t-il ? Bien, cela nous aide lorsque nous examinons ce que l’on appelle le cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique nous aide à déterminer si sinus, cosinus et tangente 𝜃 vont être négatifs ou positifs. Nous pouvons également l’utiliser pour nous aider à trouver des valeurs si nous savons ce que valent sinus, cosinus ou tangente 𝜃.

Ainsi, lorsque nous avons affaire à un cercle trigonométrique, il se divise en quatre quadrants. Nous avons donc le premier, deuxième, troisième et quatrième quadrants. Nous remarquons que dans le premier quadrant, nos abscisses et ordonnées sont toutes positives. Cela signifie que le cosinus, le sinus et la tangente des angles entre zéro et 90 degrés sont tous positifs. Ensuite, si nous passons au deuxième quadrant, seules les ordonnées sont positives donc seul le sinus, en l’occurrence sinus 𝜃, va être positif. Cela signifie que seul le sinus d’un angle de ce quadrant aura une valeur positive. Au contraire, la tangente et le cosinus aurons des valeurs négatives.

Ensuite, nous avons le troisième quadrant où seule la tangente, en l’occurrence tangente de 𝜃, est positive. Ainsi, les angles de ce quadrant auront une tangente positive. Cependant, les sinus et cosinus seront négatifs. Enfin, dans le quatrième quadrant, seul le cosinus est positif. Bien, notre cercle trigonométrique est complet. La façon dont certaines personnes s’en souviennent, en partant du premier quadrant jusqu’au quatrième quadrant, est « toussitaco », pour tous, sinus, tangente, cosinus, ou d’autres moyens mnémotechniques de ce genre.

Bien, nous nous intéressons dans cette question au quadrant où à la fois cosinus 𝜃 et sinus 𝜃 sont négatifs. Cela signifie que cela ne peut être vrai que dans le troisième quadrant. Ceci parce que dans le premier quadrant, cos 𝜃 et sin 𝜃 sont tous deux positifs. Dans le deuxième quadrant, le sinus est positif. Dans le quatrième quadrant, le cosinus est positif. Ce n’est donc que dans le troisième quadrant que les deux sont négatifs.

Maintenant, juste pour démontrer que cela est bien le cas, nous choisissons des valeurs dans chacun des quadrants. Ainsi, nous avons 45 degrés, qui se trouve dans le premier quadrant, 135 degrés dans le deuxième quadrant, 225 degrés dans le troisième quadrant et 315 degrés dans le quatrième quadrant. Bien, dans le premier quadrant, les valeurs de cosinus 𝜃 et sinus 𝜃, avec 𝜃 l’angle que nous utilisons, vont toutes les deux être 0,71. Le cosinus et le sinus sont tous deux positifs. Si nous les calculons pour 135 degrés, qui est dans le deuxième quadrant, nous obtenons cosinus 𝜃 égale moins 0,71 et sinus 𝜃 égale 0,71. Ensuite, pour 225 degrés, c’est-à-dire dans le troisième quadrant, nous obtenons à la fois cosinus 𝜃 et sinus 𝜃 égale moins 0,71. Ce qui est bien comme nous espérions.

Enfin, dans le quatrième quadrant, pour 315 degrés, nous obtenons cosinus 𝜃 égale 0,71, donc positif. Cependant, sinus 𝜃 égale moins 0,71. Cela est donc négatif. Nous avons donc déterminé en utilisant le cercle trigonométrique et en substituant par des valeurs, que le quadrant dans lequel se trouve 𝜃, si cosinus 𝜃 est inférieur à zéro et sinus 𝜃 est inférieur à zéro, est le troisième quadrant.

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