Vidéo de la leçon: La moyenne d’une série statistique Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la moyenne d’une série statistique, et comment trouver un nombre manquant dans une série, étant donné les autres données et la moyenne.

Commençons par rappeler ce qu’est la moyenne d’une série. La moyenne est une mesure de la tendance centrale, c’est-à-dire une valeur typique de la série statistique. Il existe d’autres mesures de tendance centrale. Le mode et la médiane nous donneraient également une valeur typique pour la série. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur la moyenne. Donc, pour calculer la moyenne, nous commençons par additionner toutes les valeurs des données et nous divisons ensuite par le nombre de données. Nous pouvons représenter cela par une formule ; la moyenne est égale à la somme des valeurs des données sur le nombre total de données.

Ainsi, par exemple, si nous avions une série statistique comportant cinq nombres, nous les additionnerions pour obtenir le numérateur, la somme de ces valeurs, puis nous les diviserions par cinq, puisque c’est le nombre total de valeurs de notre série. Nous allons maintenant voir quelques questions. Et dans la première question, nous allons calculer la moyenne de plusieurs séries statistiques.

Laquelle des séries statistiques suivantes a une moyenne de 59 ? Option (A) 11 ; 50 ; 21 ; 72 ; 48. Option (B) 52 ; 76 ; 23 ; 50 ; 15. Option (C) 90 ; 64 ; 49 ; 13 ; 50. Option (D) 74 ; 79 ; 27 ; 59 ; 56. Option (E) 81 ; 34, ; 85 ; 21 ; 76.

Dans cette question, nous devons déterminer quelle série statistique a une moyenne de 59. Nous rappelons que pour trouver la moyenne, nous calculons la somme des valeurs des données et la divisons ensuite par le nombre total de valeurs. Lorsque nous trouvons comme réponse 59, nous trouvons alors la série statistique dont la moyenne est 59.

Donc, si nous commençons par la série statistique de l’option (A), alors nous commencerons par additionner les valeurs des données. Ainsi, au numérateur, nous aurons 11 plus 50 plus 21 plus 72 plus 48. Et comme nous avons cinq nombres dans notre série statistique, nous diviserons la somme de ces valeurs par cinq. Nous pouvons alors simplifier en 202 sur cinq. Nous pouvons calculer ce résultat en utilisant une calculatrice ou en le convertissant en un nombre fractionnaire, ce qui nous donne une moyenne de 40,4 pour la série A. Ainsi, l’option (A) n’a pas une moyenne de 59.

Nous pouvons trouver la moyenne de la série (B) en appliquant le même principe. Nous additionnons les valeurs de notre série statistique. Et comme nous avons cinq nombres, nous allons les diviser par cinq. La somme de nos valeurs est égale à 216. Donc, nous calculons 216 sur cinq. Cette réponse de 43.2 signifie que l’option (B) n’a pas une moyenne de 59.

La moyenne de l’option (C) peut être calculée en additionnant nos cinq valeurs et en divisant par cinq. Ainsi, la moyenne cette fois est 53.2, mais toujours pas 59.

Dans l’option (D), la somme de nos valeurs est 295. Nous calculons donc 295 sur cinq, ce qui nous donne une moyenne de 59. Nous avons donc trouvé une série statistique dont la moyenne est 59.

Nous pouvons vérifier notre dernière série statistique pour nous assurer que nous n’en avons pas d’autres avec une moyenne de 59. Cette fois, nous allons d’abord utiliser une méthode différente. Nous pouvons remarquer dans l’option (D) que lorsque nous avons trouvé une série statistique ayant une moyenne de 59, la somme de ces nombres était de 295. Car nous savons que cinq fois 59 nous donnerait 295. Dans la série statistique (E) que nous allons vérifier, nous savons qu’il y a également cinq nombres dans la série. Donc, une vérification plus rapide pour voir si la moyenne est 59 serait de vérifier si les nombres ont une somme de 295. Ainsi, si nous additionnons 81 ; 34, ; 85 ; 21 et 76, nous obtiendrons 297 et non 295. Nous savons donc que la moyenne de cette série ne sera pas 59.

Si nous voulions aller plus loin en trouvant la moyenne, nous additionnerions ces valeurs et les diviserions par cinq. Ainsi, 297 divisé par cinq donne 59.4. Elle serait bien sûr arrondie à 59. Mais ce n’est pas la valeur exacte que nous recherchions. Nous pouvons donc écarter l’option (E). Et notre réponse est l’option (D) : 74 ; 79 ; 27 ; 59 et 56 serait une série statistique ayant comme moyenne 59.

Dans la question suivante, nous verrons ce qui se passe lorsqu’on nous donne la moyenne, mais que nous devons trouver une autre information.

Lors de la coupe du monde de football, une équipe a marqué 32 buts au total, avec une moyenne de deux buts par match. Combien de matchs ont-ils joué au total ?

Dans cette question, nous savons qu’une équipe de football a marqué 32 buts au total au cours d’un certain nombre de matchs. Et la moyenne des buts est de deux buts par match. Nous devons déterminer combien de matchs ils ont joué. Dans cette situation, nous pouvons écrire que la moyenne des buts par match est égale au nombre total de buts sur le nombre total de matchs.

Nous pouvons compléter le fait qu’on nous dit que la moyenne des buts par match est de deux, que le nombre total de buts est de 32 et que le nombre de matchs est ce que nous devons calculer. Appelons cette valeur 𝑦. Il faut maintenant trouver la valeur de 𝑦. Ainsi, si nous multiplions les deux côtés de notre équation par 𝑦, nous aurons deux 𝑦 égale 32. Pour trouver 𝑦 alors, nous divisons les deux côtés de notre équation par deux, ce qui nous donne la réponse 16. Et donc, le nombre total de matchs joués est 16.

Nous pouvons vérifier notre réponse en pensant que si nous savons qu’il y a 32 buts au total et que nous disons qu’ils ont joué 16 matchs. Alors le nombre moyen de buts serait de deux. Et donc, nous avons trouvé la bonne réponse en disant qu’il y a 16 matchs joués au total.

Dans la question suivante, nous allons voir comment trouver une valeur manquante dans une série statistique étant donné la moyenne.

Sachant que la moyenne des valeurs huit, 22 ; 4 ; 12 et 𝑥 est 15, déterminez la valeur de 𝑥.

Dans cette question, on nous donne une série statistique qui comprend une valeur inconnue 𝑥. On nous dit que la moyenne de ces valeurs est 15 et que nous devons trouver la valeur inconnue de 𝑥. La moyenne d’une série statistique est déterminée en calculant la somme des valeurs des données et en la divisant par le nombre total de valeurs. Nous pouvons donc commencer par additionner nos valeurs huit plus 22 plus quatre plus 12 plus 𝑥. Et comme nous savons qu’il y a cinq valeurs, nous les divisons par cinq.

Notez que même si nous ne savons pas encore ce que vaut 𝑥, nous l’incluons quand même parmi les valeurs. Il nous a été donné que la moyenne est égale à 15. Nous pouvons donc la placer au côté gauche de notre équation. Pour l’instant, nous ne connaissons pas la valeur de 𝑥, mais nous pouvons additionner les autres valeurs de notre série. Nous pouvons ensuite simplifier notre calcul ; 15 égale 46 plus 𝑥 sur cinq. Nous devons maintenant réarranger cette équation afin de trouver la valeur de 𝑥.

En multipliant les deux côtés de cette équation par cinq, nous obtenons 75 égale 46 plus 𝑥. En soustrayant 46 des deux côtés de notre équation, nous obtenons 75 moins 46 égale 𝑥. Donc 29 égale 𝑥. Et donc, notre réponse est que 𝑥 égale 29. Nous pouvons vérifier notre réponse en substituant avec la valeur de 𝑥 égale 29, en additionnant avec le reste des valeurs, en divisant par cinq, et en vérifiant que nous obtenons une valeur de 15. Et ainsi confirmer que la valeur de 𝑥 est 29.

Nous allons maintenant voir deux problèmes avec des histoires impliquant l’utilisation de la moyenne.

Les âges des personnes présentes à un rassemblement sont 49 ; 27 ; 37 ; 44 ; 34 ; 36 ; 19 ; 24 ; 23 ; 40 ; 20 ; 21 et 43 ans. Lorsqu’une personne se joint au rassemblement, l’âge moyen devient 31. Quel âge a la personne qui s’est jointe au rassemblement ?

On nous dit dans cette question qu’il y a un certain nombre de personnes dans un rassemblement. On nous donne aussi l’âge de ces personnes. On nous dit qu’une autre personne se joint au rassemblement, mais on ne connaît pas son âge. On nous dit cependant que la moyenne des âges de toutes les personnes est de 31. Alors, comment faire pour déterminer l’âge de cette nouvelle personne à partir de la moyenne qui nous est donnée ?

Nous pouvons rappeler que la moyenne est égale à la somme des valeurs des données sur le nombre total de valeurs. Dans ce contexte, les valeurs des données sont les âges. Et le nombre total de valeurs serait le nombre total de personnes présentes lors du rassemblement. Nous pouvons alors remplacer dans cette formule avec les informations qui nous sont données. On nous dit que la moyenne est 31. Et pour trouver la somme des âges, nous additionnons tous les âges qui nous sont donnés. Nous ne connaissons pas l’âge de ce nouvel arrivant. Mais si nous l’appelons 𝑥, alors nous pouvons aussi l’inclure dans notre somme de données.

En comptant toutes les personnes présentes et en incluant la personne dont nous ne connaissons pas l’âge, nous obtenons une valeur de 14 au dénominateur. En additionnant toutes nos valeurs au numérateur, nous obtenons 417 plus la valeur inconnue 𝑥 sur 14. En réarrangeant, nous multiplions les deux côtés de notre équation par 14, ce qui nous donne 434 égale 417 plus 𝑥. En soustrayant 417 des deux côtés de notre équation, nous aurons 434 moins 417 égale 𝑥, nous donnant que 𝑥 égale 17. Comme nous avons défini l’âge de cette nouvelle personne comme étant 𝑥, cela signifie qu’elle a 17 ans.

Pour avoir un C en mathématiques, William doit avoir une note moyenne de 70 ou plus. Ses résultats aux épreuves sont pour l’instant 63.3 ; 85 ; 79.73 et 70.57. Calculez la note minimale que William doit obtenir à l’épreuve finale pour avoir un C.

Dans cette question, nous examinons les notes de William en mathématiques. On nous dit qu’il a eu quatre résultats jusqu’à présent et qu’il a une épreuve finale. Quelle note doit-il avoir à son épreuve finale pour avoir un C ? Et pour avoir un C, on nous dit que sa note moyenne doit être de 70 ou plus. Alors, qu’entendons-nous exactement par moyenne ici ?

Le mot « moyenne » n’est pas un mot très précis. Parfois, il signifie une moyenne, un mode ou une médiane et, parfois, il se réfère simplement à la moyenne. Dans le cas des épreuves, comme nous le voyons ici, nous ne voulons pas le mode car ce serait la valeur la plus fréquente. Et nous ne voulons pas la médiane, car ce serait la valeur du milieu. En fait, nous voulons calculer la moyenne.

Dans cette situation, nous pouvons écrire que la note moyenne est égale à la somme des notes obtenues aux épreuves sur le nombre d’épreuves. Commençons par trouver la somme des notes aux épreuves. La note inconnue que nous voulons déterminer peut être définie comme n’importe quelle variable. Mais appelons-la ici 𝑥. Comme nous prenons en compte cette épreuve qu’il n’a pas encore passée, alors le nombre total d’épreuves sera cinq. La note moyenne qui nous intéresse ici est 70. Mais en fait, il doit avoir une moyenne supérieure ou égale à 70.

Et donc, la somme des notes de William sur le nombre total d’épreuves, qui est cinq, doit être supérieure ou égale à 70, où 70 est inférieur ou égal à la somme des notes sur cinq. En simplifiant notre numérateur, nous avons 70 est inférieur ou égal à 298.6 plus 𝑥 sur cinq. Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de cette inéquation par cinq, ce qui nous donne 350 est inférieur ou égal à 298.6 plus 𝑥. Nous soustrayons ensuite 298,6 des deux côtés de cette inéquation, ce qui nous donne 51.4 est inférieur ou égal à 𝑥.

Ainsi, cela signifie que la note inconnue 𝑥 doit être supérieure ou égale à 51.4. Nous pouvons voir que cette note est inférieure à ses autres notes. Vérifions donc nos résultats. Disons que nous voulions calculer la moyenne des quatre épreuves que William a déjà passées. Nous additionnerions ses résultats et nous les diviserions par quatre, puisque nous n’avons que quatre épreuves. Nous avons déjà trouvé que la somme de ces résultats est de 298.6. Et donc, en divisant par quatre, on obtient 74.64.

Alors, qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, William a déjà des résultats supérieurs à la moyenne dont il a besoin, c’est-à-dire supérieurs à 70. Donc, même lors de son épreuve finale, il peut avoir une note inférieure à cela, mais avoir tout de même une moyenne de 70 ou plus. Nous pouvons donner notre réponse pour la note minimale que William doit avoir afin d’obtenir un C comme 51.4.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu, tout d’abord, que la moyenne est une mesure de tendance centrale d’une série statistique. Pour calculer la moyenne, nous additionnons les valeurs des données et nous divisons par le nombre de valeurs. Nous pouvons écrire cela comme formule : la moyenne égale la somme des valeurs des données divisée par le nombre total de valeurs. Enfin, comme nous l’avons vu dans plusieurs questions, nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la valeur manquante d’une donnée, étant donné les valeurs des autres données et de la moyenne.