Transcription de la vidéo
Un système de coordonnées permet de représenter un point dans un plan par un couple ordonné de nombres appelés coordonnées. Nous avons surtout l’habitude de travailler avec des coordonnées cartésiennes dans un plan 𝑥𝑦. Elles représentent les distances directes du point aux deux axes perpendiculaires. Mais comment peut-on faire si ce système de coordonnées n’est pas pratique pour un problème? Eh bien, dès 130 avant Jésus Christ, des références à l’astronome et mathématicien grec Hipparque indiquent qu’il utilisait des angles et des longueurs de corde à partir d’un pôle pour établir la position des étoiles. Ce système a été formalisé par Isaac Newton, bien que son nom de coordonnées polaires soit attribué à Gregorio Fontana au 18ème siècle.
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir et tracer des points exprimés en coordonnées polaires et à convertir les coordonnées cartésiennes d’un point en coordonnées polaires. Commençons par le repère lui-même. On choisit un point dans le plan appelé le pôle. Il est en quelque sorte l’origine. Et on le nomme 𝑂. On trace ensuite une demi-droite ou un rayon partant de 𝑂, appelé axe polaire. Cet axe est généralement tracé horizontalement vers la droite et correspond à l’axe des abscisses positives dans un plan cartésien. On ajoute ce point 𝑃. Alors, 𝑟 est la distance entre 𝑂 et 𝑃. Et 𝜃 est l’angle que le segment 𝑂𝑃 forme avec l’axe polaire, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On peut alors représenter 𝑃 par le couple ordonné 𝑟, 𝜃. Ce sont les coordonnées polaires de 𝑃.
Cela signifie qu’un angle mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre sera négatif. On voit également que si 𝑟 est négatif, les points 𝑟, 𝜃 et moins 𝑟, 𝜃 se trouvent sur la même droite passant par le pôle. Et ils sont à la même distance moins 𝑟 de 𝑂, mais opposés. On peut voir que moins 𝑟, 𝜃 peut également être décrit par 𝑟, 𝜃 plus 𝜋. Et dans la pratique, nous essayons autant que possible d’éviter d’utiliser des valeurs négatives pour 𝑟. Afin qu’il décrive bien la distance au pôle. Il convient également de noter qu’en raison de la nature de ce système, on dit que deux points sont confondus s’ils se trouvent au même endroit. Par exemple, les points deux, 80 degrés et deux, 440 degrés son confondus. Leur valeur de 𝑟 est la même. Et 440 degrés est supérieur de 360 degrés à 80 degrés. En fait, on passe de 80 degrés à 440 degrés en effectuant un tour complet, ce qui nous ramène au même point. Utilisons ces information pour déterminer les coordonnées polaires de points sur un graphique.
On considère les points tracés sur le graphique ci-dessous. Déterminez les coordonnées polaires de 𝐶, en donnant l’angle 𝜃 dans l’intervalle moins 𝜋, 𝜋.
Nous nous intéressons au point 𝐶. Et nous souhaitons connaître ses coordonnées polaires. On rappelle qu’elles doivent être de la forme 𝑟, 𝜃. Ajoutons un segment ou un rayon allant du pôle au point 𝐶. Nous devons déterminer la valeur de 𝑟, c’est-à-dire la longueur du segment OC, et 𝜃, l’angle que ce segment forme avec l’axe des abscisses positives. Et comme il est demandé que 𝜃 soit supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋, nous allons nous déplacer dans le sens des aiguilles d’une montre.
𝑟 est assez facile à calculer. On suit la ligne circulaire du repère. Et on voit que le point est situé exactement à une unité du pôle. Donc 𝑟 doit être égal à un. Mais qu’en est-il de l’angle 𝜃? Nous savons qu’un tour complet correspond à deux π radians. Et qu’un demi-tour est 𝜋 radians. Ce demi-tour est divisé en 12 secteurs. Par conséquent, chaque secteur doit représenter 𝜋 sur 12 radians. Le segment est à trois secteurs de l’axe polaire. Cela fait trois fois 𝜋 sur 12, soit π sur quatre. Mais nous nous déplaçons dans le sens des aiguilles d’une montre. Donc la valeur de 𝜃 pour les coordonnées polaires de 𝐶 est moins 𝜋 sur quatre. Et les coordonnées polaires de 𝐶 sont donc un, moins 𝜋 sur quatre. Notez que si nous nous étions déplacés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous aurions bien sûr un angle de sept 𝜋 sur quatre. Mais cette valeurs serait en dehors de l’intervalle demandé pour θ.
Voyons comment cela fonctionnerait pour le point 𝐸, par exemple. Cette fois, le point se situe à deux unités du pôle. Donc 𝑟 égale deux. En mesurant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des abscisses positives, nous parcourons huit secteurs de 𝜋 sur 12, soit deux 𝜋 sur trois radians. Et les coordonnées polaires de E sont donc deux, deux 𝜋 sur trois. C’est un bon début. Mais supposons maintenant que nous souhaitons effectuer des conversions entre les coordonnées polaires et cartésiennes. Comment pourrions-nous faire cela?
Soit un point 𝑃, décrit par les coordonnées cartésiennes 𝑥, 𝑦 et les coordonnées polaires 𝑟, 𝜃. Nous pouvons former un triangle rectangle avec ces informations. Nous savons que la longueur de son hypoténuse est de 𝑟 unités. Son côté opposé mesure 𝑦 unités. Et son côté adjacent mesure 𝑥 unités. Nous allons utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour déterminer les expressions de 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝑟 et 𝜃. Nous savons que le cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Dans ce cas, cos 𝜃 égale 𝑥 sur 𝑟. En multipliant les deux membres de cette équation par 𝑟, on trouve 𝑥 égale 𝑟 cos 𝜃. De même, le sinus de 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Cette fois, lorsque l’on multiplie par 𝑟, on trouve que 𝑦 est égal à 𝑟 sin 𝜃. Ce sont les équations que nous pouvons utiliser pour convertir des coordonnées polaires en cartésiennes. Et bien que nous les ayons déduites d’un schéma où 𝑟 est une valeur positive et 𝜃 est supérieur à zéro et inférieur à 𝜋 sur deux, ces équations sont valables pour toutes les valeurs de 𝑟 et 𝜃.
Par exemple, supposons que nous souhaitons convertir le point de coordonnées polaires deux, moins 𝜋 sur trois en coordonnées cartésiennes. Nous voyons que 𝑟 est égal à deux. Et que 𝜃 égale moins 𝜋 sur trois. Cela signifie que 𝑥 doit être égal à deux cos de moins 𝜋 sur trois, ce qui est égal à un. Et 𝑦 est égal à deux sin de moins 𝜋 sur trois, qui est égal à moins racine carrée de trois. Sous forme cartésienne, ce point a donc les coordonnées un, moins racine carrée de trois.
Mais qu’en est-il de la conversion dans l’autre sens? Si nous souhaitons effectuer la conversion inverse, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer une expression de 𝑟 en fonction de 𝑥 et 𝑦. On rappelle que la somme des carrés des deux plus petits côtés d’un triangle rectangle est égale au carré du grand côté. Donc, 𝑟 carré égale 𝑥 carré plus 𝑦 carré. Ou 𝑟 égale racine carrée de 𝑥 carré plus 𝑦 carré. Nous savons que la tangente de 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Dans ce cas, 𝑦 sur 𝑥. Pour déterminer 𝜃, on applique la tangente réciproque aux deux membres. Donc 𝜃 est égal à arc tangente de 𝑦 sur 𝑥. Nous devons cependant être prudents lors de la conversion de la forme polaire en forme cartésienne. Cette formule fonctionne parfaitement pour les points situés dans le premier et le quatrième quadrant. Mais pour les autres quadrants, une calculatrice donnera une valeur incorrecte. Nous avons donc quelques options. Nous pouvons tracer les points et en déduire θ. Ou nous pouvons utiliser les résultats standard suivants pour des valeurs de 𝜃 entre moins 𝜋 et 𝜋, ou moins 180 et 180.
Pour les points situés dans le premier ou le quatrième quadrant, on utilise la valeur de 𝜃 générée par une calculatrice. C’est-à-dire que 𝜃 est égal à arctan de 𝑦 sur 𝑥. Pour les points situés dans le deuxième quadrant, le quadrant supérieur gauche, on ajoute 𝜋 radians ou 180 degrés à la valeur de 𝜃 obtenue avec une calculatrice. Et pour les points situés dans le troisième quadrant, on soustrait 𝜋 radians ou 180 degrés à la valeur de la calculatrice. Voyons une application de cela.
Convertissez moins deux, cinq en coordonnées polaires. Exprimez l’angle en radians et donnez vos résultats à trois chiffres significatifs.
On rappelle que les coordonnées polaires sont de la forme 𝑟, 𝜃. Nous pouvons utiliser les formules générales pour les calculer. Mais nous devons faire attention à la valeur de 𝜃. En effet, nous mesurons généralement les angles dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des abscisses positives. Et si nous traçons un schéma de ce point, nous voyons qu’il se situe dans le deuxième quadrant. Nous avons heureusement établi un ensemble de règles pour nous aider. Pour les points dans le premier et quatrième quadrant, on utilise les valeurs de la calculatrice. Pour les points dans le deuxième quadrant, on ajoute 𝜋 à la valeur obtenue sur une calculatrice. Et pour les points situés dans le troisième quadrant, on soustrait 𝜋 à la valeur de la calculatrice.
Commençons donc par calculer la valeur de 𝑟. Il s’agit essentiellement de la longueur du segment entre le point et le pôle, ou l’origine. Elle est égale à racine carrée de 𝑥 carré plus 𝑦 carré. La valeur de 𝑥 est moins deux. Et la valeur de 𝑦 est cinq. Donc 𝑟 égale racine carrée de moins deux au carré plus cinq au carré, soit racine carrée de 29. Arrondie à trois chiffres significatifs, cela nous donne une valeur de 𝑟 de 5,39. Nous calculons 𝜃 en évaluant la tangente réciproque de cinq sur moins deux, ce qui donne 1,190 etc. Le point se situe dans le deuxième quadrant. On ajoute donc 𝜋 radians à cette valeur. Et cela nous donne 1,9513, soit 1,95 radians à trois chiffres significatifs. Par conséquent, les coordonnées polaires sont 5,39; 1,95.
Nous allons maintenant voir comment calculer la distance entre deux points exprimés en coordonnées polaires. On peut rappeler la formule de distance pour deux points de coordonnées cartésiennes 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Elle est égale à racine carrée de 𝑥 un moins 𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré. Comment pouvons-nous alors adapter cette formule pour trouver la distance entre deux points de coordonnées polaires?
Eh bien, pour deux points 𝑃 un et 𝑃 deux donnés par 𝑟 un cos 𝜃 un, 𝑟 un sin 𝜃 un et 𝑟 deux cos 𝜃 deux, 𝑟 deux sin 𝜃 deux. Nous pouvons voir que la distance entre eux sera égale à racine carrée de 𝑟 un cos 𝜃 un moins 𝑟 deux cos 𝜃 deux au carré plus 𝑟 un sin 𝜃 un moins 𝑟 deux sin 𝜃 deux au carré. On distribue les parenthèses et on rappelle que cos carré 𝜃 plus sin carré 𝜃 égale un. On trouve donc que la distance est égale à racine carrée de 𝑟 un carré plus 𝑟 deux carré moins deux 𝑟 un 𝑟 deux cos 𝜃 un cos 𝜃 deux plus sin 𝜃 un sin 𝜃 deux. Et on rappelle que cos 𝜃 un moins 𝜃 deux égale cos 𝜃 un cos 𝜃 deux plus sin 𝜃 un sin 𝜃 deux. On peut donc réécrire la formule comme racine carrée de 𝑟 un carré plus 𝑟 deux carré moins deux 𝑟 un 𝑟 deux cos de 𝜃 un moins 𝜃 deux. Voyons une application de cette formule.
Calculez la distance entre les points de coordonnées polaires deux, 𝜋 et trois, moins trois 𝜋 sur quatre. Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.
On rappelle que pour trouver la distance entre deux points de coordonnées polaires, 𝑟 un, 𝜃 un et 𝑟 deux, 𝜃 deux, nous utilisons la formule racine carrée de 𝑟 un carré plus 𝑟 deux carré moins deux 𝑟 un 𝑟 deux cos de 𝜃 un moins 𝜃 deux. On définit 𝑟 un égale deux et 𝜃 un égale 𝜋. Donc 𝑟 deux égale trois et 𝜃 deux égale moins trois 𝜋 sur quatre. On substitue ensuite ces valeurs directement dans la formule. Et on voit que la distance est égale à racine carrée de deux au carré plus trois au carré moins deux fois deux fois trois fois cos de 𝜋 moins moins trois 𝜋 sur quatre. Cela nous donne racine carrée de 13 moins 12 cos de sept 𝜋 sur quatre, ce qui est égal à 2,124 etc. Donc, la distance entre ces deux points de coordonnées polaires est de 2,12 unités à 3 chiffres significatifs.
Dans cette vidéo, nous avons appris que les coordonnées polaires d’un point sont de la forme 𝑟, 𝜃, où 𝑟 est la distance entre ce point et le pôle, ou l’origine, et 𝜃 est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des abscisses positives. Nous avons vu que nous pouvons convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes en utilisant les formules 𝑥 égale 𝑟 cos 𝜃 et 𝑦 égale 𝑟 sin 𝜃, et convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires avec les formules suivantes. Mais nous avons également spécifié que nous devons être très prudents et déterminer dans quel quadrant se situe le point pour nous assurer d’obtenir la valeur correcte de 𝜃. Enfin, nous avons établi que la distance entre deux points de coordonnées polaires 𝑟 un, 𝜃 un et 𝑟 deux, 𝜃 deux est égale à racine carrée de 𝑟 un carré plus 𝑟 deux carré moins deux 𝑟 un 𝑟 deux cos de 𝜃 un moins 𝜃 deux.
