Transcription de la vidéo
Laquelle des fonctions représentées ci-dessous admet trois zéros réels et deux maxima locaux?
Commençons par rappeler les définitions d’un zéro et d’un maximum local. Tout d’abord, les zéros d’une fonction 𝑓 de 𝑥 sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro. Sur la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥, les zéros sont les abscisses à l’origine, c’est-à-dire les coordonnées 𝑥 des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. On commence par examiner la figure (a) et on observe que la courbe coupe l’axe des 𝑥 en quatre points distincts. Donc la fonction représentée sur la figure (a) a quatre zéros réels.
En examinant la figure (b), on remarque que la courbe coupe l’axe des 𝑥 en deux points et qu’elle le touche en un autre point. Donc le a fonction représentée sur la figure (b) a trois zéros réels. La courbe en (c) coupe l’axe des 𝑥 en trois points, donc la fonction représentée en (c) a également trois zéros réels. Notons que l’énoncé précise qu’on s’intéresse ici aux zéros réels. Il est possible que ces fonctions soient égales à zéro en d’autres valeurs de 𝑥. Mais ces valeurs ne sont pas réelles, donc nous n’avons pas à nous en préoccuper. On cherche trois zéros réels, donc on a éliminé la figure (a) pour ne garder que les graphes (b) et (c).
Rappelons à présent la définition d’un maximum local. Un maximum local est un point de la courbe représentative d’une fonction qui vérifie deux conditions. Premièrement, la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro en ce point, donc la pente de la fonction est nulle. Deuxièmement, la pente passe de positive à négative au fur et à mesure que les valeurs de 𝑥 augmentent. Ainsi, au voisinage du maximum local, la courbe représentative de la fonction ressemble à cela. On appelle cela un maximum local car si on considère un intervalle suffisamment petit autour de ce point, on peut voir que la fonction atteint sa valeur la plus grande en ce point.
On commence par examiner la courbe (b) et on voit deux maxima locaux, en ces deux points. En revanche, en examinant la courbe (c), on ne voit qu’un seul maximum local. On peut également remarquer que la courbe (a), qu’on a déjà éliminé, a elle aussi deux maxima locaux. Ainsi, la figure (b) est la seule qui représente une fonction avec le bon nombre de zéros réels et de maxima locaux. Par conséquent, notre réponse est a figure (b).
