Vidéo de la leçon: Angles au centre et arcs Mathématiques

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Angles au centre et arcs

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les angles au centre, utiliser leurs mesures pour déterminer les mesures d'arcs, identifier les arcs adjacents, déterminer les longueurs d'arcs, et identifier les arcs superposables dans des cercles superposables.

Commençons par définir exactement ce que nous entendons par arc de cercle. Un arc de cercle est une section de la circonférence d’un cercle entre deux rayons. Par exemple, on considère le cercle suivant ayant pour centre le point 𝑀 et deux de ses rayons. La section orange est un exemple d’arc de cercle. Il s’agit d’une section de la circonférence du cercle entre deux rayons. Et il convient de noter que c’est également le cas pour la section bleue. Il s’agit également d’une section de la circonférence du cercle entre deux rayons. Par conséquent, pour deux rayons de cercle donnés, on ne peut pas simplement parler de l’arc de cercle. On doit faire la différence entre ces deux cas. On appelle arc majeur le plus long des deux arcs. Et on appelle arc mineur le plus court des deux arcs.

Il existe encore une possibilité. Les deux arcs peuvent avoir la même longueur. Dans ce cas, ils forment chacun la moitié du cercle. On les appelle arcs semi-circulaires. Cela ne se produit que lorsque les deux rayons forment un diamètre du cercle.

Maintenant que nous sommes familiers avec les arcs de cercle, voyons comment nous les notons. Comme les arcs sont définis entre deux rayons d’un cercle, on peut parler aussi des points d’intersection des rayons avec le cercle. Par exemple, on peut identifier les points 𝐴 et 𝐵 sur ce schéma. On peut alors dire que l’arc orange est l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et que l’arc bleu est l’arc majeur de 𝐴 à 𝐵. On note l’arc de 𝐴 à 𝐵 avec la notation suivante. Et sauf indication du contraire, cela désigne l’arc mineur.

Il peut enfin être utile d’introduire le concept d’arcs adjacents. On dit que deux arcs sont des arcs adjacents s’ils ne partagent qu’un seul point ou s’ils partagent uniquement leurs deux extrémités, les extrémités d’un arc étant les points où les arcs se terminent. Sur ce schéma par exemple, l’arc majeur et l’arc mineur ont tous les deux pour extrémités les points et 𝐵. Et comme ces deux arcs partagent uniquement leurs deux extrémités, les arcs majeur et mineur entre 𝐴 et 𝐵 sont adjacents. Mais ce n’est pas la seule configuration pour obtenir des arcs adjacents. On pourrait introduire un autre point 𝐶 situé en dehors de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 comme indiqué. On peut alors voir sur le schéma que l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶 partagent un seul point, le point 𝐵. L’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶 sont donc adjacents. Voyons maintenant un exemple où nous devons identifier des arcs adjacents dans un cercle.

Pour le cercle ci-dessous, parmi les arcs suivants, lesquels sont adjacents ? Réponse (A) l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐶 à 𝐷. Réponse (B) l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶. Réponse (C) l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶. Ou réponse (D) l’arc mineur de 𝐴 à 𝐶 et l’arc mineur de 𝐷 à 𝐵.

Dans cette question, on a un cercle et on doit déterminer quels arcs de ce cercle sont adjacents. Pour répondre à cette question, on commence par rappeler la définition de deux arcs de cercles adjacents. On dit que deux arcs sont adjacents s’ils ne partagent qu’un seul point ou uniquement leurs deux extrémités. On peut donc déterminer quels arcs sont adjacents en les traçant et en déterminant combien de points ils partagent. On commence par la réponse (A). On trace l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵. On rappelle qu’il existe deux arcs de cercle de 𝐴 à 𝐵 et on recherche le plus court. On trace ensuite l’arc mineur de 𝐶 à 𝐷. À nouveau, il s’agit de la section de la circonférence du cercle de 𝐶 à 𝐷 la plus courte. Et on peut voir que ces deux arcs ne partagent aucun point. Ils ne sont donc pas adjacents.

On peut faire la même chose pour la réponse (B). On trace l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶. L’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 est la section de la circonférence du cercle entre 𝐴 et 𝐵 la plus courte. Et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶 est la section de la circonférence du cercle entre 𝐵 et 𝐶 la plus courte. On peut voir sur le schéma que ces deux arcs contiennent le point 𝐵. Il s’agit en fait du seul point qu’ils partagent. Et cela signifie qu’ils sont adjacents. La réponse à cette question est donc la réponse (B). On pourrait s’arrêter ici. Pour effectuer une vérification complète, on étudie cependant les deux réponses restantes.

Pour vérifier la réponse (C), on doit tracer l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶. On obtient alors le schéma suivant. On peut voir que ces deux arcs ne partagent aucun point donc ils ne sont pas adjacents. On se penche enfin sur la réponse (D). On doit déterminer si l’arc mineur de 𝐴 à 𝐶 et l’arc mineur de 𝐷 à 𝐵 sont adjacents. On peut tracer ces deux arcs sur le cercle et on remarque quelque chose d’intéressant. Chaque point entre 𝐵 et 𝐶 sur le cercle appartient aux deux arcs. Ainsi, bien qu’ils partagent un point, ils en partagent en fait une infinité. Ces arcs ne sont donc pas adjacents. Par conséquent, parmi les réponses proposées, seuls l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶 sont adjacents ; ce qui correspond à la réponse (B).

Nous sommes maintenant presque prêts à déterminer la longueur d’un arc. Nous avons cependant d’abord besoin de quelques définitions supplémentaires. On commence par remarquer qu’un arc est une portion de la circonférence d’un cercle. Par conséquent, si on connaît cette proportion, on peut l’utiliser pour déterminer la longueur de l’arc. Elle sera égale à la circonférence multipliée par la proportion. Et pour déterminer cette proportion, nous devons introduire la notion d’angle au centre.

L’angle au centre d’un arc entre deux rayons est l’angle au centre du cercle entre les deux rayons interceptant l’arc. Dans ce schéma, l’angle 𝜃 est donc l’angle au centre de l’arc mineur 𝐴𝐵. De même, 360 degrés moins 𝜃 est l’angle au centre de l’arc majeur 𝐴𝐵. Et on peut voir que plus l’angle au centre est grand, plus l’arc de cercle sera long. En fait, on peut déterminer si un arc est majeur ou mineur en fonction de son angle au centre. Si l’angle au centre d’un arc est compris entre zéro et 180 degrés exclus, l’arc est un arc mineur. Si l’angle au centre est égal à 180 degrés, on a un arc semi-circulaire. Et s’il est strictement supérieur à 180 degrés, il s’agit d’un arc majeur.

Avant de passer à la longueur de l’arc, nous devons donner une dernière définition, la mesure d’un arc. La mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵, notée mesure de l’arc mineur 𝐴 à 𝐵, est égale à la mesure de son angle au centre. Par exemple, si la mesure de l’angle au centre de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 est de 60 degrés, alors on peut dire que la mesure de cet arc est de 60 degrés.

Nous sommes maintenant prêts à calculer la longueur d’un arc. Commençons par un exemple. Soit un cercle de rayon 𝑟 et un arc d’angle au centre de 90 degrés. On rappelle d’abord que la circonférence du cercle est égale à deux 𝜋 multiplié par le rayon. La circonférence est égale à deux 𝜋𝑟. On souhaite déterminer la longueur de l’arc qui a un angle au centre de 90 degrés. Si on ajoute les points 𝐴 et 𝐵, il s’agit de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵.

On peut voir sur le schéma que cela représente un quart du cercle. On pourrait donc simplement multiplier la circonférence par un quart pour trouver la longueur de cet arc. Cependant, il est de bonne pratique de rappeler exactement pourquoi cela représente un quart du cercle. Un tour complet du cercle représente 360 degrés et l’angle au centre est ici de 90 degrés. 90 degrés divisé par 360 degrés égale un quart. Cela confirme que la longueur de cet arc est égale à un quart de la circonférence du cercle, un quart fois deux 𝜋𝑟, que l’on peut bien sûr simplifier en 𝜋𝑟 sur deux.

En général cependant, l’angle au centre ou la mesure de l’arc ne sera pas de 90 degrés. On aura plutôt un angle de 𝜃 degrés. On peut cependant déterminer la longueur de l’arc de la même manière. La proportion de la circonférence du cercle représentée par l’arc est de 𝜃 degrés divisé par 360 degrés. Alors, la longueur de l’arc est donc égale à la circonférence du cercle multipliée par cette proportion. C’est-à-dire 𝜃 degrés divisé par 360 degrés fois deux 𝜋𝑟. On peut écrire ces formules comme suit. Si l’angle au centre, ou la mesure, d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 est de 𝜃 degrés, alors la longueur de l’arc 𝐿 est donnée par la formule suivante. 𝐿 égale 𝜃 degrés divisé par 360 degrés fois deux 𝜋𝑟. Voyons un exemple d’application de cette formule.

Soit un cercle de rayon deux et un arc de mesure 30 degrés. Alors, la longueur de l’arc 𝐿 est égale à la mesure de l’arc, 30 degrés, divisé par 360 degrés fois deux 𝜋 fois le rayon, qui est égal à deux. Et si on simplifie cette expression, on voit qu’elle est égale à 𝜋 sur trois. Rappelez-vous que cela représente une longueur, on peut donc dire que cette valeur a une unité de longueur.

Voyons maintenant un exemple d’application de certaines de ces définitions à un problème.

Déterminez la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷.

Dans cette question, on doit déterminer la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷. On commence par tracer cet arc sur un schéma. On rappelle que l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 est la section de la circonférence du cercle entre 𝐴 et 𝐷 la plus courte. Et on doit trouver la mesure de cet arc. On rappelle également que la mesure d’un arc est égale à la mesure de son angle au centre. Et que l’angle au centre d’un arc est l’angle au centre du cercle qui intercepte l’arc. Dans ce cas, l’angle au centre de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 est l’angle 𝐷𝑀𝐴. Et il est indiqué que la mesure de cet angle est 33 degrés. Et la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 doit être égale à cette valeur. Par conséquent, la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 est de 33 degrés.

Étudions maintenant un exemple impliquant deux arcs de même mesure.

Soit le cercle de centre 𝑀 avec deux arcs de 𝐴 à 𝐵 et de 𝐶 à 𝐷 de même mesure tels que l’arc de 𝐴 à 𝐵 a une longueur de cinq centimètres, quelle est la longueur de l’arc de 𝐶 à 𝐷 ?

Cette question porte sur un cercle. Et on sait que deux de ses arcs sont de même mesure, l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 et l’arc mineur de 𝐶 à 𝐷.

On peut les ajouter au schéma. On rappelle qu’un arc de cercle est une section de la circonférence d’un cercle, et que l’arc mineur est l’arc le plus court entre les deux points. On sait que l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 a une longueur de cinq centimètres, on peut donc l’ajouter au schéma. On doit utiliser ces informations pour déterminer la longueur de l’arc de 𝐶 à 𝐷. Pour répondre à cette question, on commence par rappeler la définition de la mesure d’un arc. La mesure d’un arc est la mesure de son angle au centre. C’est-à-dire de l’angle au centre du cercle, interceptant l’arc. Par exemple, l’angle 𝐴𝑀𝐵 est l’angle au centre de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵. Et l’angle 𝐷𝑀𝐶 est l’angle au centre de l’arc mineur 𝐶𝐷. Comme les mesures de ces deux arcs sont égales, les mesures de leurs angles au centre doivent également être égales.

On suppose alors que ces angles ont une mesure de 𝜃 degrés. On peut maintenant déterminer une expression des longueurs de ces deux arcs. On rappelle tout d’abord la formule suivante pour déterminer la longueur d’un arc 𝐿. Si l’angle au centre est de 𝜃 degrés et le rayon du cercle est 𝑟, alors 𝐿 égale 𝜃 degrés divisé par 360 degrés fois deux 𝜋𝑟. On peut appliquer cette formule à l’arc 𝐴𝐵. On sait que sa longueur est de cinq centimètres ; la mesure de son angle au centre est de 𝜃 degrés. On ne connaît cependant pas le rayon de ce cercle. On appellera simplement cette valeur 𝑟. On obtient cinq égale 𝜃 degrés divisé par 360 degrés fois deux 𝜋𝑟.

On peut faire de même pour la longueur de l’arc mineur de 𝐶 à 𝐷. On appelle cette valeur 𝐿. L’angle au centre de cet arc est également de 𝜃 degrés. On obtient donc 𝐿 égale 𝜃 degrés divisé par 360 degrés fois deux 𝜋𝑟. On peut alors voir que les membres droits de ces deux équations sont égaux. Par conséquent, les membres gauches doivent également être égaux. La longueur de l’arc mineur de 𝐶 à 𝐷 est donc de cinq centimètres. Ce résultat est en fait vrai en général. Si deux arcs de cercles superposables sont de même mesure, alors leurs longueurs sont égales. Et la réciproque est également vraie. Si deux arcs de cercles superposables sont de même longueur, alors leurs mesures doivent être égales. Dans cette question, on a donc pu montrer que la longueur de l’arc de 𝐶 à 𝐷 est de cinq centimètres.

Nous pouvons montrer un résultat très similaire à celui de la question précédente. Nous souhaitons montrer que si les cordes entre deux points 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur, alors les arcs entre ces points sont de même longueur. En fait, la réciproque de ce résultat est également vraie. Si deux arcs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur, alors les cordes entre leurs extrémités sont de même longueur. Nous allons démontrer ces résultats dans les deux sens.

On commence par supposer que l’arc de 𝐴 à 𝐵 et l’arc de 𝐶 à 𝐷 sont de même longueur. En utilisant les résultats de la question précédente, comme ces arcs sont de même longueur, leurs angles au centre doivent être égaux. On sait également que 𝐴𝑀, 𝐵𝑀, 𝐶𝑀 et 𝐷𝑀 sont des rayons. Ils ont tous la même longueur. On peut maintenant voir que les triangles 𝐴𝑀𝐵 et 𝐶𝑀𝐷 sont superposables car ils ont un angle et deux côtés égaux. Par conséquent, le côté 𝐴𝐵 et le côté 𝐶𝐷 doivent avoir la même longueur. Par conséquent, si les arcs sont de même longueur, alors les cordes entre leurs extrémités sont de même longueur ; on suppose maintenant que les cordes sont de même longueur. Les rayons du cercle ont toujours tous la même longueur. Et à nouveau, on voit que les triangles 𝐴𝑀𝐵 et 𝐶𝑀𝐷 sont superposables, car ils ont cette fois tous leurs côtés de mêmes longueurs. Et des triangles superposables ont les mêmes angles. La mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 et la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐷 sont donc égales. Par conséquent, la longueur de l’arc 𝐴𝐵 est égale à la longueur de l’arc 𝐶𝐷 car leurs angles au centre sont égaux. Voyons maintenant un exemple d’application de cette propriété.

Soit un cercle de centre 𝑀 avec deux cordes 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 de même longueur telles que l’arc de 𝐴 à 𝐷 a une longueur de cinq centimètres, quelle est la longueur de l’arc de 𝐵 à 𝐶 ?

On a deux cordes dans un cercle de même longueur, 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶. On peut mettre ces cordes en évidence sur le schéma, et le fait qu’elles ont la même longueur. Il est également indiqué que la longueur de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷 est de cinq centimètres. On peut donc l’ajouter au schéma. On doit utiliser ces informations pour déterminer la longueur de l’arc mineur de 𝐵 à . On peut répondre géométriquement à cette question en remarquant que 𝐴𝑀, 𝐵𝑀, 𝐶𝑀 et 𝐷𝑀 sont des rayons du cercle, ils sont donc de même longueur. Cela signifie que les triangles 𝐴𝑀𝐷 et 𝐵𝑀𝐶 sont superposables. Les mesures des angles au centre de ces deux arcs sont donc égales.

Comme les angles au centre de ces deux arcs sont égaux, leurs longueurs sont égales, ce qui signifie que 𝐵𝐶 a une longueur de cinq centimètres. On aurait cependant également pu répondre à cette question en rappelant simplement que si les cordes entre deux points sur un cercle sont égales, leurs longueurs d’arc sont également égales. En utilisant ces deux méthodes, on a pu montrer que la longueur de l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶 est de cinq centimètres.

Passons maintenant à un dernier exemple.

Sachant que le segment est un diamètre du cercle de centre 𝑀 et que la mesure de l’angle 𝐷𝑀𝐵 est égale à cinq 𝑥 plus 12 degrés, déterminez la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐶.

Cette question donne des informations sur un cercle. On doit les utiliser pour déterminer la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐶. On commence par ajouter l’arc mineur de 𝐴 à 𝐶 sur le schéma. On peut rappeler qu’un arc de cercle entre deux points est la proportion de la circonférence du cercle entre ces deux points. Et que sauf indication du contraire, on parle de l’arc mineur, qui est le plus court des deux arcs. L’arc mineur de 𝐴 à 𝐶 est donc représenté sur le schéma. On sait également que la mesure de l’angle 𝐷𝑀𝐵 est égale à cinq 𝑥 plus 12 degrés. On peut donc également ajouter cette valeur au schéma.

On souhaite déterminer la mesure de l’arc 𝐴𝐶. On rappelle que la mesure d’un arc est égale à la mesure de son angle au centre. Et que l’angle au centre d’un arc est l’angle au centre du cercle interceptant l’arc. On connaît la mesure de cet angle grâce au schéma. La mesure de l’arc 𝐴𝐶 est de quatre 𝑥 degrés. Par conséquent, pour déterminer la mesure de l’arc 𝐴𝐶, on doit trouver la valeur de 𝑥. Pour ce faire, on va utiliser le fait que le segment est un diamètre du cercle. En particulier, comme 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle, les angles 𝐵𝑀𝐷 et 𝐷𝑀𝐴 forment un angle plat. La somme de leurs mesures est donc égale à 180 degrés. Par conséquent, on a 180 degrés égale deux 𝑥 degrés plus cinq 𝑥 plus 12 degrés.

On peut alors résoudre cette équation pour déterminer 𝑥. On commence par supprimer le symbole des degrés, puis on simplifie pour obtenir 168 égale sept 𝑥. En divisant les deux membres de l’équation par sept, on obtient 𝑥 égale 28. On peut enfin remplacer cette valeur de 𝑥 dans l’expression de la mesure de l’arc 𝐴𝐶. La mesure de l’arc 𝐴𝐶 est égale à quatre fois 28 degrés, soit 96 degrés. Par conséquent, sachant que le segment 𝐴𝐵 du cercle de centre 𝑀 est un diamètre et que la mesure de l’angle 𝐷𝑀𝐵 est égale à cinq 𝑥 plus 12 degrés, on a pu déterminer que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 est égale à 96 degrés.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu qu’un arc de cercle est une section de la circonférence entre deux rayons. Nous avons également vu qu’étant donné deux rayons, il existe deux arcs entre eux. On appelle le plus long de ces deux arcs l’arc majeur et le plus court l’arc mineur. Au lieu de considérer un arc entre deux rayons, nous pouvons l’envisager comme l’arc entre deux points sur la circonférence d’un cercle. Et l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 est désigné par la notation suivante. Nous avons également défini l’angle au centre d’un arc comme l’angle au centre du cercle entre les deux rayons et interceptant l’arc. Nous avons de plus défini la mesure d’un arc comme la mesure de son angle au centre. Et la mesure de l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 est désignée par la notation suivante.

Nous avons également prouvé que si l’angle au centre d’un arc, ou sa mesure, dans un cercle de rayon 𝑟 est de 𝜃 degrés, alors la longueur 𝐿 de l’arc est donnée par 𝐿 égale 𝜃 degrés divisé par 360 degrés fois deux 𝜋𝑟. Enfin, nous avons montré deux résultats utiles. Tout d’abord, si deux arcs de cercles superposables sont de même longueur, alors nous avons montré que leurs angles au centre ont la même mesure. Et nous avons également montré que la réciproque est vraie. Si les angles au centre de deux arcs dans des cercles superposables ont la même mesure, alors les deux arcs ont la même longueur. Nous avons ensuite montré un résultat très similaire. Si deux arcs de cercles superposables sont de même longueur, alors les cordes entre les extrémités de ces deux arcs sont de même longueur.

Nous avons enfin montré que la réciproque est vraie. Si deux cordes dans des cercles superposables sont de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de ces deux cordes sont de même longueur.