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Utilisez la formule 𝑟 𝑛 égale 𝑎 zéro fois 𝑛 au carré, où 𝑟 𝑛 est le rayon orbital d’un électron au niveau énergétique 𝑛 d’un atome d’hydrogène et 𝑎 zéro est le rayon de Bohr, pour calculer le rayon orbital d’un électron qui est au niveau d’énergie 𝑛 est égal à trois d’un atome d’hydrogène. Utilisez une valeur de 5,29 fois 10 à la puissance moins 11 mètres pour le rayon de Bohr. Donnez votre réponse arrondie à trois décimales près.
Donc, dans cette question, on nous a demandé de calculer le rayon orbital d’un électron qui est dans le niveau d’énergie 𝑛 est égal à trois d’un atome d’hydrogène. Et la question nous dit que nous pouvons le faire en utilisant cette formule, 𝑟 𝑛 est égal à 𝑎 zéro fois 𝑛 au carré. Maintenant, cette formule vient du modèle de Bohr, un modèle simplifié de l’atome qui décrit les électrons chargés négativement comme faisant des orbites circulaires autour d’un noyau chargé positivement. Maintenant, bien que le modèle de Bohr donne une description simplifiée du comportement des électrons dans les atomes, il fait toujours des prédictions assez précises pour les atomes qui n’ont qu’un seul électron. Cela signifie que le modèle de Bohr est utile pour traiter les problèmes impliquant des atomes d’hydrogène comme celui de cette question, car les atomes d’hydrogène n’ont qu’un seul électron.
L’une des principales caractéristiques du modèle de Bohr est qu’il nous dit que les électrons ne peuvent occuper que certaines orbites autour du noyau. L’orbite occupée par un certain électron dépend de son niveau d’énergie, que nous représentons avec le symbole 𝑛. Ceci est également connu comme le nombre quantique principal de l’électron. Maintenant, le niveau d’énergie 𝑛 ne peut prendre que des valeurs entières positives. Cela signifie que le niveau d’énergie le plus bas est 𝑛 égal à un. Un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à un aura la quantité d’énergie la plus faible possible pour un électron de cet atome. Et par conséquent, il occupera l’orbite la plus proche possible du noyau.
Un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à deux aura la deuxième plus petite quantité d’énergie possible et occupera la deuxième orbite la plus proche du noyau. Et un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à trois aura la troisième quantité d’énergie la plus basse possible et occupera la troisième orbite la plus proche du noyau. Et ce modèle continue pour des valeurs plus élevées de 𝑛. Ainsi, nous pouvons voir que lorsque le niveau d’énergie d’un électron augmente, la distance de son orbite par rapport au noyau augmente également. Maintenant, la distance entre l’orbite d’un électron et le centre du noyau est connue comme le rayon orbital de l’électron.
Dans la question, on nous donne une équation qui nous permet de calculer le rayon orbital d’un électron : 𝑟 𝑛 est égal à 𝑎 zéro fois 𝑛 au carré. Dans cette équation, 𝑟 𝑛 représente le rayon orbital d’un électron dans un niveau d’énergie donné d’un atome d’hydrogène. 𝑎 zéro est une constante connue sous le nom de rayon de Bohr. Et comme nous l’avons vu, 𝑛 est le nombre quantique principal ou le niveau d’énergie de l’électron. Cette équation nous permet de calculer le rayon orbital de tout électron d’un atome d’hydrogène tant que l’on nous donne son nombre quantique principal 𝑛. Tout ce que nous devons faire est prendre le carré de 𝑛 puis le multipliez par cette constante 𝑎 zéro, et nous aurons le rayon orbital.
Par exemple, essayons de faire cela pour un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 est égal à un. Pour ce faire, nous remplaçons 𝑛 égal à un dans cette équation. Cela signifie que sur le côté droit, nous avons 𝑎 zéro fois un au carré. Et sur le côté gauche, nous avons maintenant 𝑟 un. Et l’indice est juste une façon de noter que nous parlons du rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie un. Maintenant, dans ce cas, nous avons un au carré, ce qui est égal à un. Et puisque nous avons maintenant 𝑎 zéro fois un, nous pouvons simplement écrire 𝑎 zéro.
Donc, nous pouvons voir que le rayon orbital d’un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à un d’un atome d’hydrogène est en fait juste égal à 𝑎 zéro, le rayon de Bohr. Et en fait, c’est la définition du rayon de Bohr. C’est une constante physique importante, non seulement parce que c’est le plus petit rayon orbital possible de l’atome le plus simple possible, mais aussi parce que tous les autres rayons orbitaux sont calculés en utilisant cette constante.
Maintenant, dans cette question, on nous demande de calculer le rayon orbital de l’électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à trois. Donc, sur notre figure, c’est cette distance ici. Pour trouver cela, il suffit de remplacer 𝑛 égal à trois dans notre équation. Donc, cette fois, nous avons que 𝑟 indice trois est égal à 𝑎 zéro fois trois au carré. Maintenant, trois au carré est égal à neuf. Ainsi, nous pouvons écrire que 𝑟 trois est égal à neuf 𝑎 zéro.
Maintenant, il suffit d’insérer la valeur de 𝑎 zéro, le rayon de Bohr, qui est donné dans la question. C’est 5,29 fois 10 à la puissance moins 11 mètres. Donc, au total, nous avons que le rayon orbital d’un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal trois d’un atome d’hydrogène est égal à neuf fois 5,29 fois 10 à la puissance moins 11 mètres. Et nous pouvons insérer ces valeurs dans notre calculatrice pour obtenir une valeur de 4,761 fois 10 à la puissance moins 10 mètres. Et c’est la bonne réponse. Cependant, comme cette quantité est très petite, il est pratique de l’exprimer en unités de nanomètres.
On peut rappeler qu’un nanomètre équivaut à 10 à la puissance moins neuf mètres. Afin de convertir notre résultat des mètres en nanomètres, il est utile d’exprimer d’abord un mètre en nanomètres. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés de cette expression par 10 à la puissance neuf. Sur le côté droit, nous avons 10 à la puissance moins neuf fois 10 à la puissance neuf, ce qui est simplement égal à un. Et sur le côté gauche, nous avons 10 à la puissance neuf fois un, ce qui est égal à 10 à la puissance neuf. Donc, nous avons maintenant montré qu’un mètre est égal à 10 à la puissance neuf nanomètres. Cela signifie que dans notre réponse, au lieu d’écrire des mètres, nous pouvons écrire 10 à la puissance neuf nanomètres.
Donc, nous avons maintenant 4,761 fois 10 à la puissance moins 10 fois 10 à la puissance neuf nanomètres, que nous pouvons également exprimer en utilisant un signe de multiplication comme celui-ci. Notez que nous avons ici 10 à la puissance moins 10 fois 10 à la puissance neuf. Cela équivaut à 10 à la puissance moins un. Donc, nous avons maintenant exprimé 𝑟 trois en nanomètres. Une dernière étape de simplification consiste à noter que multiplier par 10 puissance moins un est équivalent à déplacer cette virgule d’un rang vers la gauche, ce qui nous permet d’exprimer notre réponse comme étant 0,4761 nanomètres. La dernière chose à faire est d’arrondir notre réponse à trois décimales comme spécifié dans la question. 0,4761 arrondi à la trois décimales près est 0,476. Donc, voici la réponse finale.
Selon le modèle de Bohr, le rayon orbital d’un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à trois d’un atome d’hydrogène est de 0,476 nanomètres.
