Transcription de la vidéo
Le graphe de la fonction 𝑓(𝑥) égale à racine de 𝑥 subit une symétrie axiale par rapport à l'axe des 𝑦, puis une translation vers le haut de deux unités et vers la droite de trois unités, et enfin une dilatation horizontale de facteur deux pour obtenir le graphique de la fonction 𝑔(𝑥). Ecrivez une équation pour 𝑔 de 𝑥.
Nous commençons par considérer la suite des quatre transformations géométriques qui sont appliquées à la fonction 𝑓 de 𝑥. Tout d'abord, la fonction 𝑓 de 𝑥 a subi une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦. Puis, le graphique est déplacé vers le haut de deux unités et vers la droite de trois unités. Enfin, le graphique est dilaté horizontalement par un facteur d'échelle de deux. Nous obtenons ainsi le graphique de la fonction 𝑔 de 𝑥 dont on souhaite déterminer l'équation. Pour cela, il faut considérer l'effet de chacune de ces transformations sur l'équation d'une fonction lorsque nous les appliquons dans l'ordre donné.
Nous rappelons d'abord que lorsqu'une transformation a un effet horizontal, elle correspond à apporter un changement à la variable, alors que lorsqu'une transformation a un effet vertical, elle correspond à apporter un changement à la fonction elle-même. Examinons d'abord une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦. Il s'agit d'une transformation à effet horizontal. Elle correspond à la transformation algébrique : 𝑥 est transformé en moins 𝑥. Autrement dit, partout où nous avons 𝑥 dans la fonction, nous allons le remplacer par moins 𝑥.
Nous avons donc commencé par la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥. Pour la symétrie par rapport à l'axe des 𝑦, nous remplaçons 𝑥 par moins 𝑥, ce qui donne la fonction racine carrée de moins 𝑥. Nous rappelons ensuite qu'un déplacement ou une translation verticale de 𝑘 unités correspond à associer la fonction ℎ de 𝑥 à ℎ de 𝑥 plus 𝑘. Ainsi, pour déplacer le graphique vers le haut de deux unités, il faut ajouter deux à la fonction. Nous avons déjà remplacé 𝑥 par moins 𝑥, donc nous ajoutons deux à la racine carrée de moins 𝑥. Nous constatons qu'après avoir appliqué les deux premières transformations, l'équation de cette fonction est la racine carrée de moins 𝑥 plus deux.
Considérons ensuite le déplacement horizontal. Un déplacement horizontal ou une translation de 𝑘 unités vers la droite correspond au changement de la variable de 𝑥 à 𝑥 moins 𝑘. Ainsi, pour déplacer la fonction vers la droite de trois unités, il faut remplacer 𝑥 par 𝑥 moins trois. Il faut faire un peu attention ici. Dans l'étape précédente, nous avons eu racine carrée de moins 𝑥. Ainsi, quand nous remplaçons 𝑥 par 𝑥 moins trois, nous devons nous assurer de multiplier toute l'expression 𝑥 moins trois par moins un. Après ces trois premières transformations, l'équation que nous obtenons est donc la racine carrée de moins 𝑥 moins trois plus deux. Ensuite, bien sûr, nous pouvons développer le calcul pour obtenir la racine carrée de moins 𝑥 plus trois plus deux.
Enfin, la dernière transformation est une autre transformation horizontale, donc une fois de plus elle affecte la variable 𝑥. Nous nous rappelons que pour effectuer une dilatation horizontale par un facteur d'échelle de 𝑘, il faut remplacer la variable 𝑥 par un sur 𝑘 fois 𝑥. Ainsi, pour effectuer une dilatation horizontale d'un facteur d'échelle de deux, nous remplaçons 𝑥 par un demi 𝑥. Cela donne racine carrée de moins un demi 𝑥 plus trois plus deux.
Nous avons maintenant effectué les quatre transformations dans l'ordre indiqué. Nous avons trouvé qu’une équation de la fonction 𝑔 de 𝑥 est 𝑔 de 𝑥 égale racine carrée de moins un demi 𝑥 plus trois plus deux.
