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Vidéo de question : Déterminer l’équation d’une droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée sous forme vectorielle Mathématiques

Déterminez la forme vectorielle de l’équation de la droite passant par le point 𝐴(2, 5, 5) et parallèle à la droite passant par les deux points 𝐵(-3, -2, -6) et 𝐶(5, 0, -9).

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Transcription de vidéo

Déterminez la forme vectorielle de l’équation de la droite passant par le point 𝐴 deux, cinq, cinq et parallèle à la droite passant par les deux points 𝐵 moins trois, moins deux, moins six et 𝐶 cinq, zéro, moins neuf.

Bien, nous avons donc ces trois points dans l’espace tridimensionnel. On nous dit qu’il y a une droite passant par les points 𝐶 et 𝐵. Nous voulons déterminer l’équation d’une droite passant par le point 𝐴 qui est parallèle à la droite passant par 𝐵 et 𝐶. Parallèlement à cela, nous voulons exprimer l’équation de cette droite passant par le point 𝐴 sous ce qu’on appelle la forme vectorielle.

Lorsque nous écrivons une droite sous cette forme, cela ressemble à ça. Nous voyons qu’il y a deux vecteurs dans cette équation. Le premier est un vecteur de l’origine de notre repère de coordonnées jusqu’à un point sur la droite avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑧 un. Puis, à partir de ce point, nous faisons monter et descendre la droite en utilisant ce vecteur avec les composantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 qui est parallèle à la droite.

Ici, le facteur 𝑡 par lequel nous multiplions ce vecteur parallèle est appelé facteur d’échelle. Pour exprimer tous les points de la droite, cette valeur est comprise entre tous les nombres possibles, positifs, négatifs et nul. Pour écrire l’équation d’une droite sous forme vectorielle, nous devons connaître un point qui appartient à celle-ci et un vecteur qui lui est parallèle. On nous a dit que notre droite en question passe par le point 𝐴. Cela signifie que la seule information manquante est un vecteur parallèle à notre droite.

On nous dit cependant que la droite qui passe par les points 𝐵 et 𝐶 est parallèle à la droite qui passe par 𝐴. Ainsi, en utilisant les points 𝐵 et 𝐶, nous pouvons définir un vecteur comme celui-ci, nous l’appellerons 𝐯, qui est parallèle aux deux droites. 𝐯 est égal à la forme vectorielle de la différence entre les composantes des points 𝐵 et 𝐶. En effectuant cette soustraction, nous voyons que ses composantes sont huit, deux et moins trois.

Maintenant que nous connaissons un point qui appartient à notre droite et un vecteur qui lui est parallèle, nous pouvons écrire son équation sous forme vectorielle. Tout d’abord, nous écrivons sous forme de vecteur notre point connu, 𝐴. Ensuite, nous ajoutons cela à notre facteur d’échelle 𝑡 fois le vecteur parallèle à notre droite.

Il convient de noter que ce n’est pas la seule façon d’écrire la forme vectorielle de l’équation de cette droite. Par exemple, si nous avions soustrait les points 𝐵 et 𝐶 dans un ordre différent, notre vecteur 𝐯 aurait des signes différents. Mais encore, en raison des valeurs où notre facteur d’échelle 𝑡 se situe, l’équation de cette droite serait la même que cette droite. Autrement dit, il y aurait différentes façons d’écrire la forme vectorielle de la même droite.

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