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Vidéo de question : Déterminer la limite d’un quotient de fonctions trigonométriques en un point Mathématiques

Calculez lim_ (𝑥 → 0) ((1 - tan 5𝑥) / (sin 5𝑥 - cos 5𝑥)).

02:20

Transcription de vidéo

Calculez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un moins tangente de cinq 𝑥 le tout sur sinus de cinq 𝑥 moins cosinus de cinq 𝑥.

On nous demande de déterminer la limite d’une fonction quand 𝑥 tend vers zéro. Et la première chose que nous devons vérifier est la suivante: sommes-nous autorisés à utiliser la méthode de substitution directe? Et pour cela, nous allons devoir examiner la fonction à l’intérieur de notre limite. Tout d’abord, nous devons rappeler que nous sommes autorisés à utiliser la méthode de substitution directe sur n’importe quelle fonction trigonométrique. Et puisque cinq 𝑥 est une fonction linéaire, cela signifie que nous sommes autorisés à utiliser la substitution directe sur le sinus de cinq 𝑥, le cosinus de cinq 𝑥 et la tangente de cinq 𝑥.

Mais la fonction à l’intérieur de notre limite n’est pas seulement une fonction trigonométrique. Par exemple, il y a la différence de deux fonctions trigonométriques dans notre dénominateur. Et nous avons aussi un moins tangente de cinq 𝑥 au numérateur. Mais nous savons aussi que si nous pouvons évaluer deux fonctions en utilisant la substitution directe, nous pouvons alors évaluer leur différence en utilisant également par substitution directe. Nous pouvons donc évaluer le sinus de cinq 𝑥 moins le cosinus de cinq 𝑥 en utilisant la substitution directe puisque c’est la différence entre deux fonctions trigonométriques. Et il en va de même pour notre numérateur. Puisque un est une constante, sa limite sera simplement égale à un. Par conséquent, nous avons montré que nous pouvons déterminer la limite de notre numérateur en utilisant la substitution directe et la limite de notre dénominateur en utilisant la substitution directe.

Et la dernière propriété que nous devons utiliser est que, si nous avons deux fonctions dont nous pouvons évaluer la limite en utilisant la substitution directe, nous pouvons également évaluer la limite de leur quotient en utilisant la substitution directe. Cela signifie que nous pouvons évaluer la limite qui nous est donnée dans la question en utilisant la substitution directe. Essayons donc d’évaluer cette limite en utilisant la substitution directe.

Rappelez-vous, cela signifie que nous substituons 𝑥 égale à zéro dans notre fonction. Cela nous donne un moins tangente de cinq fois zéro, le tout divisé par sinus de cinq fois zéro moins cosinus de cinq fois zéro. Au numérateur, nous obtenons un moins tangente zéro. Et on sait que la tangente de zéro est égal à zéro. Donc, notre numérateur vaut un. Et au dénominateur, le sinus de zéro est égal à zéro et le cosinus de zéro est égal à un. Donc, notre dénominateur se simplifie pour nous donner moins un. Et nous pouvons calculer que cela est égal à moins un.

Par conséquent, nous avons pu montrer que nous sommes autorisés à évaluer la limite qui nous a été donnée dans la question en utilisant la substitution directe. Et en faisant cela, nous avons constaté que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un moins tangente cinq 𝑥 le tout sur par sinus cinq 𝑥 moins cosinus cinq 𝑥 est égal à moins un.

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