Transcription de la vidéo
Déterminez, à la seconde près, la mesure de l'angle entre une droite de rapport directeur cinq, trois, deux et une droite ayant pour angles directeurs 47 degrés ; 111 degrés ; et 50 degrés, 23 minutes et 30 secondes.
On nous donne dans cette question le rapport directeur d'une droite, que nous appellerons 𝐿 un, et les angles directeurs d'une deuxième droite, que nous appellerons 𝐿 deux. Pour déterminer une mesure de l'angle entre les deux droites, nous allons utiliser la formule cosinus 𝜃 égale la valeur absolue de 𝑙 un 𝑙 deux plus 𝑚 un 𝑚 deux plus 𝑛 un 𝑛 deux, où 𝑙 un, 𝑚 un, 𝑛 un et 𝑙 deux, 𝑚 deux, 𝑛 deux sont les cosinus directeurs des droites 𝐿 un et 𝐿 deux, respectivement.
Examinons d'abord comment nous pouvons calculer ces cosinus directeurs à partir des informations données. En commençant par 𝐿 un, nous avons le rapport directeur cinq, trois, deux. Nous savons que le cosinus directeur de la composante 𝑥 est donné par 𝑙 un égale cosinus 𝛼, qui est égal à 𝑎 sur racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré, où 𝛼 est l'angle que forme le vecteur directeur de la droite avec l'axe des 𝑥.
En substituant nos valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐, nous obtenons 𝑙 un égale cinq sur racine carrée de cinq au carré plus trois au carré plus deux au carré. Nous obtenons ainsi, en simplifiant, cinq sur racine carrée de 38. Rationalisons le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de 38, nous obtenons 𝑙 un égale cinq racine 38 sur 38.
Nous pouvons ensuite répéter ce processus pour nos composantes 𝑦 et 𝑧. La composante en 𝑦 notée 𝑚 un est égale à cosinus 𝛽, qui est égal à 𝑏 sur racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Cela se simplifie en trois racine 38 sur 38. Finalement, la composante en 𝑧 notée 𝑛 un est égale à deux racine 38 sur 38. En d'autres termes, pour la droite 𝐿 un, les cosinus directeurs sont cinq racine de 38 sur 38, trois racine de 38 sur 38 et deux racine de 38 sur 38.
Ensuite, nous considérons la droite 𝐿 deux, dont les angles directeurs sont donnés. 𝛼 est égal à 47 degrés. Cela signifie que la composante en 𝑥 notée 𝑙 deux est égale au cosinus de 47 degrés. De même, puisque 𝛽 est égal à 111 degrés, 𝑚 deux est égale au cosinus 111 degrés. Le troisième angle directeur 𝛾 est donné en degrés, minutes et secondes. Puisqu’il y a 60 minutes dans un degré et 3600 secondes dans un degré, nous pouvons réécrire cela comme 50 plus 23 sur 60 plus 30 sur 3600 degrés, ce qui correspond approximativement, à cinq décimales près, à 50.39167 degrés.
𝑛 deux, le troisième cosinus directeur, pour la droite 𝐿 deux est donc égale au cosinus de celle-ci . Nous sommes maintenant en mesure de déterminer le cosinus de l'angle entre nos deux droites. En substituant les valeurs des cosinus directeurs, nous obtenons l'expression suivante pour le cosinus 𝜃. En saisissant le membre de droit de notre équation dans notre calculatrice, nous obtenons 0.5856128 etc.
Ensuite, il faut prendre la fonction réciproque du cosinus des deux membres de l'équation, ce qui donne 𝜃 égale 54.153704 etc. Il est demandé de donner la mesure de l'angle à la seconde près. Nous pouvons le faire directement sur la calculatrice ou en multipliant successivement les parties décimales par 60. De toute façon, à la seconde près, la mesure de l'angle entre les deux droites est de 54 degrés, neuf minutes et 13 secondes.
