Vidéo de la leçon: Résoudre des équations exponentielles en utilisant les propriétés des puissances Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à résoudre des équations exponentielles en utilisant les propriétés des puissances. Les formules des exposants pour un produit, un quotient ou une puissance nous seront particulièrement utiles, ainsi que les méthodes pour évaluer des exposants nuls, négatifs et fractionnaires. Commençons donc par les rappeler. La première formule est celle du produit de puissances. Notez qu’elle ne fonctionne que si la base, le nombre écrit en grand qui est ici 𝑥, est la même. Si c’est le cas, lorsque l’on multiplie ces termes, on additionne leurs exposants. Donc, 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 plus 𝑏.

De même, si on divise ces nombres, on soustrait leurs exposants. 𝑥 puissance 𝑎 divisé par 𝑥 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 moins 𝑏. Lorsque l’expression contient des parenthèses, c’est-à-dire lorsque l’on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants. Donc, 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏. Nous pouvons également rappeler que tout nombre puissance zéro est égal à un. Un exposant négatif est équivalent à l’inverse, donc 𝑥 puissance moins 𝑎 est égal à un sur 𝑥 puissance 𝑎. Et un exposant fractionnaire indique une racine, donc 𝑥 puissance un sur 𝑎 égale racine 𝑎-ième de 𝑥.

Dans cette leçon, nous allons utiliser ces formules pour résoudre des équations impliquant des puissances. Et la meilleure façon de voir comment cela fonctionne est d’étudier un exemple.

Sachant que deux puissance x égale 32, trouvez la valeur de 𝑥.

Nous avons une équation impliquant une puissance qui est une variable. L’exposant est égal à 𝑥. En général, pour résoudre une équation, on essaie d’effectuer une série d’opérations réciproques, mais la réciproque de la puissance x est la racine 𝑥-ième, ce qui ne nous aide pas vraiment. On remarque plutôt que l’on peut écrire 32 comme une puissance de deux. En fait, on sait que deux puissance cinq égale 32. Et cela signifie que l’on peut réécrire l’équation par deux puissance x égale deux puissance cinq.

Comment cela nous aide-t-il? Eh bien, maintenant la base - le nombre écrit en grand qui est ici 2– est identique sur les deux membres. Et nous pouvons donc dire que pour que cette équation soit vérifiée, les exposants doivent aussi être égaux. Par conséquent, 𝑥 égale cinq. Chaque fois que nous résolvons des équations, il est toujours de bonne pratique de vérifier notre réponse en la replaçant dans l’équation originale. Soit 𝑥 égale cinq. Alors deux puissance x devient deux puissance cinq, ce qui est en effet égal à 32. Par conséquent, sachant que deux puissance x égale 32, 𝑥 doit être égal à cinq.

Il s’agit d’un exemple assez simple de résolution d’équation exponentielle. Nous allons ensuite utiliser certaines formules des puissances dans un exemple.

Sachant que huit puissance 𝑦 est égal à quatre puissance 𝑧 qui est égal à 64, trouvez la valeur de 𝑦 plus 𝑧.

Cette équation est assez inhabituelle car elle comporte trois membres. La clé pour répondre à ce problème est de constater que chacun des nombres de l’équation peut être écrit comme une puissance d’un nombre commun. En fait, ils peuvent tous être écrits comme une puissance de deux. Voici les premières puissances de deux. On sait que deux au carré égale quatre, deux au cube égale huit, jusqu’à deux puissance six égale 64. Remplaçons donc chaque base dans l’équation par sa puissance de deux associée. Huit égale deux au cube. Donc, huit puissance 𝑦 égale deux au cube puissance 𝑦. Ensuite, quatre égale deux au carré, donc quatre puissance 𝑧 égale deux au carré puissance 𝑧. Et enfin, 64 égale deux puissance six.

Mais comment cela nous aide-t-il? Eh bien, en se rappelant une des formules des puissances, on sait que 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏. On doit multiplier les exposants. Et donc, deux au cube puissance 𝑦 peut s’écrire comme deux puissance trois fois 𝑦 ou simplement deux puissance trois 𝑦. Et deux au carré puissance 𝑧 est égal à deux puissance deux 𝑧. L’équation est donc maintenant deux puissance trois 𝑦 égale deux puissance deux 𝑧 égale deux puissance six.

Sachant que la base, le nombre écrit en grand qui est ici deux, est la même, on peut dire que pour que cette équation soit vérifiée, les exposants eux-mêmes doivent être égaux. En d’autres termes, trois 𝑦 doit être égal à deux 𝑧, qui à son tour doit être égal à six. Nous pouvons maintenait séparer cette équation pour trouver les valeurs individuelles de 𝑦 et 𝑧. Commençons par égaliser trois 𝑦 et six. Trois 𝑦 égale six. On calcule 𝑦 en divisant les deux membres par trois. Trois 𝑦 divisé par trois égale 𝑦, et six divisé par trois égale deux. On peut donc dire que 𝑦 est égal à deux.

De même, on peut égaliser les deux autres parties de l’équation. Deux 𝑧 égale six. Puis on divise simplement par deux pour calculer 𝑧. Deux 𝑧 divisé par deux égale 𝑧, et six divisé par deux égale trois. Nous avons donc trouvé que 𝑦 égale deux et 𝑧 égale trois. Ce n’est cependant pas suffisant. La question demande de calculer la valeur de 𝑦 plus 𝑧. Nous pouvons maintenant dire qu’elle doit être égale à deux plus trois, ce qui est bien sûr égal à cinq. À partir de l’équation initiale, nous pouvons donc dire que 𝑦 plus 𝑧 égale cinq.

Nous allons maintenant voir comment trouver l’ensemble solution d’une équation exponentielle lorsque les exposants sont des binômes.

Trouvez la valeur de 𝑥 pour laquelle huit puissance 𝑥 plus deux égale deux puissance 𝑥 plus quatre. Donnez votre réponse au dixième près.

Nous avons une équation avec deux puissances où les exposants sont des binômes: ils sont composés de deux termes. La clé pour répondre à ce problème est de remarquer que chacune des bases de l’équation – ce sont les nombres écrits en grand, donc huit et deux - peut être écrite comme une puissance d’un nombre commun. En rappelant que deux au cube égale huit, nous pouvons réécrire la base du membre gauche comme deux au cube. Voyons ce que cela donne. On obtient huit puissance 𝑥 plus deux égale deux au cube puissance 𝑥 plus deux. Et cela nous aide beaucoup parce que nous pouvons maintenant multiplier les exposants.

On rappelle que 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏. Cela devient donc deux puissance trois fois 𝑥 plus deux. On remplace cette expression dans l’équation initiale. On obtient alors deux puissance trois fois 𝑥 plus deux égale deux puissance 𝑥 plus quatre. En quoi cela nous aide-t-il? Eh bien, maintenant que la base est la même dans les deux membres - deux - on peut dire que pour que l’équation soit vérifiée, les exposants eux-mêmes doivent être égaux. Autrement dit, trois fois 𝑥 plus deux égale 𝑥 plus quatre.

Pour résoudre cette équation de 𝑥, on commence par distribuer les parenthèses du membre gauche. On multiplie donc 𝑥 par 3 puis deux par 3. Trois fois 𝑥 égale trois 𝑥, et trois fois deux égale six. L’équation est alors trois 𝑥 plus six égale 𝑥 plus quatre. Comme on souhaite isoler 𝑥, on commence par soustraire le plus petit coefficient de 𝑥. On soustrait donc 𝑥 aux deux membres. Trois 𝑥 moins 𝑥 égale deux 𝑥, et 𝑥 moins 𝑥 égale zéro. L’équation devient deux 𝑥 plus six égale quatre. On soustrait ensuite six aux deux membres. Deux 𝑥 plus six moins six égale deux 𝑥 et quatre moins six égale moins deux.

La dernière étape pour calculer 𝑥 est de diviser par deux. Nous trouvons alors que 𝑥 est égal à moins un. Moins un est bien sûr une solution entière donc nous n’avons pas besoin de l’arrondir malgré ce que suggère la question. Ce que nous pouvons faire, cependant, est de vérifier que notre solution est bien correcte en la replaçant dans l’équation d’origine. Huit puissance 𝑥 plus deux devient huit puissance moins un plus deux. Cela fait huit puissance un, qui est égal à huit. Ensuite, deux puissance 𝑥 plus quatre devient deux puissance moins un plus quatre. Cela fait deux au cube, qui est aussi égal à huit. Et comme ces expressions sont égales, nous pouvons confirmer que notre réponse est correcte. 𝑥 est égal à moins un.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment résoudre une équation exponentielle impliquant une valeur absolue.

Trouvez l’ensemble solution de deux puissance valeur absolue de huit 𝑥 moins 12 égale huit puissance quatre 𝑥 moins quatre.

La clé pour résoudre cette équation est de remarquer que nous pouvons réécrire huit par deux au cube, créant ainsi une équation où les bases sont égales. Dans l’expression du membre droit, si on remplace huit par deux au cube, on obtient deux au cube puissance quatre 𝑥 moins quatre. Mais bien sûr, une des formules des puissances peut nous aider à simplifier cela. Nous savons que 𝑥 puissance 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏. Lorsque l’expression contient des parenthèses, on peut multiplier les exposants et on peut donc la réécrire par deux puissance trois fois quatre 𝑥 moins quatre.

L’équation initiale devient donc deux puissance valeur absolue de huit 𝑥 moins 12 égale deux puissance trois fois quatre 𝑥 moins quatre. Cela nous aide beaucoup car maintenant que les bases sont identiques – elles sont égales à 2 - on peut dire que pour que cette équation soit vérifiée et que les deux membres soient égaux, leurs exposants doivent eux-mêmes être égaux. Autrement dit, valeur absolue de huit 𝑥 moins 12 doit être égale à trois fois quatre 𝑥 moins quatre.

On distribue les parenthèses en multipliant chaque terme à l’intérieur des parenthèses par trois. On obtient ainsi 12𝑥 moins 12. Comment pouvons-nous maintenant résoudre une équation avec une valeur absolue? Eh bien, on sait que le symbole de valeur absolue prend toute valeur et la rend positive. Pour une des solutions, on doit donc changer le signe du terme égal à la valeur absolue. On a donc huit 𝑥 moins 12 égale 12𝑥 moins 12 ou huit 𝑥 moins 12 égale moins 12𝑥 moins 12.

Si on distribue les parenthèses du membre droit, on obtient bien sûr moins 12𝑥 plus 12. Résolvons maintenant ces deux équations. Pour la première équation, on soustrait huit 𝑥 aux deux membres et on obtient moins 12 égale quatre 𝑥 moins 12. On ajoute ensuite 12 aux deux membres. On obtient alors zéro égale quatre 𝑥. Cette équation n’est donc vérifiée que si x lui-même est égal à zéro. Il s’agit donc d’une solution potentielle. Résolvons la deuxième équation. Pour celle-ci, on commence par ajouter 12𝑥 aux deux membres, et on obtient 20𝑥 moins 12 égale 12. On ajoute ensuite 12 aux deux membres et on obtient 20𝑥 égale 24. Puis on divise par 20 et on trouve que 𝑥 est égal à 24 sur 20, ce qui se simplifie par six sur 5.

Nous allons maintenant confirmer ces deux solutions en les substituant dans l’équation d’origine et en vérifiant qu’elles fonctionnent bien toutes les deux. Si on substitue zéro dans l’équation d’origine, le membre gauche devient deux puissance valeur absolue de moins 12 et le membre droit devient huit puissance moins quatre. Ensuite, valeur absolue de moins 12 est simplement égale à 12, et huit puissance moins quatre égale un sur huit puissance quatre. Si on évalue les deux membres, on trouve que deux puissance douze égale 4096. Et le membre droit devient un sur 4096. Nous pouvons voir que les deux termes ne sont pas égaux. La solution 𝑥 égale zéro est en fait incorrecte. Nous allons donc ignorer cette solution.

Répétons ce processus avec la deuxième valeur de 𝑥. Sur le membre gauche, on obtient deux puissance valeur absolue de moins 2,4, et cela doit être égal à huit puissance 0,8. Valeur absolue de moins 2,4 est simplement égale à 2,4. On évalue maintenant les deux membres. On trouve qu’ils sont tous les deux égaux à environ 5,27, donc cette solution fonctionne. Une autre façon de le vérifier est de réécrire deux puissance 2,4 comme deux au cube puissance 0,8. Car trois fois 0,8 égale 2,4. On sait ensuite que deux au cube égale huit. On obtient donc huit puissance 0,8 égale huit puissance 0,8.

La question nous demandait de trouver l’ensemble solution à l’équation. Quand il n’y a pas beaucoup de valeurs, on peut utiliser ces accolades pour désigner l’ensemble. L’ensemble solution est donc l’ensemble contenant l’élément six sur 5.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment un peu d’observation peut nous aider à résoudre des équations exponentielles plus compliquées.

Déterminez l’ensemble solution à 𝑥 puissance 𝑥 carré moins 64 égale six puissance 𝑥 carré moins 64.

Nous remarquons d’abord que les exposants de chaque membre de l’équation sont en fait égaux. Pour que les deux membres de l’équation soient égaux, une solution possible pour x serait donc que les bases, les nombres écrits en grand, soient égales. En d’autres termes, si 𝑥 égale six, les deux membres de l’équation sont égaux donc c’est une solution. Mais y a-t-il d’autres options? Une autre façon de nous assurer que les deux membres de l’équation sont égaux est que la puissance soit égale à zéro car toute valeur puissance zéro est égale à un. Nous pouvons donc supposer que l’exposant 𝑥 au carré moins 64 est égal à zéro.

On détermine 𝑥 en ajoutant 64 aux deux membres, ce qui donne 𝑥 au carré égale 64. Enfin, on prend la racine carrée des deux membres, en se souvenant bien sûr de prendre la racine carrée positive et la négative de 64. Comme racine carrée de 64 égale huit, les solutions à cette équation sont 𝑥 égale plus ou moins huit. Jusqu’à présent, nous avons donc trois valeurs possibles de 𝑥. Mais il en existe en fait une autre. Et cette solution est 𝑥 égale moins six. Alors pourquoi pouvons-nous dire que cette valeur est solution?

On suppose que 𝑥 est égal à moins six. L’exposant devient alors moins six au carré moins 64, ce qui donne moins 28. Et on sait que si 𝑎 est un nombre pair, moins 𝑥 puissance 𝑎 est égal à 𝑥 puissance 𝑎. Le membre gauche est donc égal à moins six puissance moins 28. Comme moins 28 est pair, cela est égal à six puissance moins 28, qui est ce que l’on obtient au membre droit. Donc 𝑥 égale moins six est également une solution. Nous avons uniquement choisi le nombre moins six parce que nous voulions faire correspondre les bases. Ce n’est pas parce qu’une valeur de 𝑥 rend les exposants égaux qu’elle est solution. Cela ne fonctionne que pour moins six.

Et nous pouvons donc dire que l’ensemble solution à l’équation est l’ensemble contenant les éléments six, moins six, huit et moins huit.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons utiliser les formules des puissances pour nous aider à résoudre des équations exponentielles. Nous avons vu que si nous pouvons obtenir une base commune en utilisant ces formules, nous pouvons alors égaliser les exposants eux-mêmes et résoudre normalement cette nouvelle équation. Nous avons enfin montré que nous devons toujours vérifier si toutes les réponses obtenues fonctionnent réellement en les replaçant dans l’équation d’origine et que si la base est négative, nous devons faire attention aux éventuels exposants pairs qui créeraient des solutions supplémentaires.