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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble de solutions d’équations exponentielles impliquant des logarithmes sur l’ensemble des nombres réels Mathématiques

Déterminez l’ensemble solution de 𝑥^(log_(𝑥)𝑥⁶) = log 10⁶⁴ sur ℝ.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble solution de 𝑥 à la puissance du log de base 𝑥 de 𝑥 à la puissance six égal à log de 10 à la puissance 64 sur ℝ.

Ici, nous avons une équation logarithmique qui paraît plutôt difficile. Commençons par voir s’il existe un moyen de la simplifier un peu. Bien, d’abord, nous rappelons l’une de nos lois des logarithmes. Le log de 𝑎 à la puissance 𝑏 est le même que 𝑏 multiplié par log 𝑎. Ceci, peu importe la base de ce log. Cela signifie que nous pouvons réécrire le membre droit de notre équation en 64 log de 10.

Maintenant, si aucune base n’est incluse, nous pouvons supposer que la base de notre logarithme est 10. Ainsi, il s’agit en fait de 64 log de base 10 de 10. Cependant, nous savons que le log de base 𝑎 de 𝑎 est simplement un. Ainsi, 64 log de base 10 de 10 ou 64 log de 10 est 64 fois un, ce qui n’est que 64. Nous avons donc simplifié le membre droit de notre équation. Nous obtenons 𝑥 à la puissance du log de base 𝑥 de 𝑥 à la puissance six est égal à 64. Peut-on simplifier le côté gauche ?

Bien, nous allons en fait utiliser les mêmes règles. Cette fois, nous allons simplement considérer l’exposant. Il s’agit du log de base 𝑥 de 𝑥 à la puissance six. En utilisant notre première règle, nous voyons que le log de base 𝑥 de 𝑥 à la puissance six équivaut à six log de base 𝑥 de 𝑥. Ensuite, en utilisant notre deuxième règle, nous voyons que le log de base 𝑥 de 𝑥 est un. Ainsi, six log de base 𝑥 de 𝑥 est six fois un, ce qui est simplement six. Notre équation devient donc 𝑥 à la puissance six est égal à 64.

Maintenant, pour résoudre cette équation afin de déterminer 𝑥, nous pourrions prendre la racine sixième des deux membres, en nous rappelant, bien sûr, que nous prenons la racine sixième positive et négative de 64. En fait, nous savons que deux à la puissance six est égal à 64. Ainsi, 𝑥 est égal à deux. Nous n’allons pas inclure la solution 𝑥 est égal à moins deux. En effet, la base d’un logarithme ne peut pas être négative.

Si nous revenons à notre question, 𝑥 est en effet la base de l’un de nos logs. Ainsi, la solution à cette équation est simplement 𝑥 est égal à deux. En utilisant la notation des ensembles, nous disons que l’ensemble solution de 𝑥 à la puissance du log de base 𝑥 de 𝑥 à la puissance six est égal à log de 10 à la puissance 64 est deux.

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