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Vidéo de question : Déterminer la formule d’une fonction rationnelle étant donnée sa représentation graphique Mathématiques

Quelle fonction est représentée par la figure ci-dessous?

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Transcription de vidéo

Quelle fonction est représentée par la figure ci-dessous?

Nous avons le graphique d’une fonction dont nous voulons connaître la fonction représentée. Voyons les caractéristiques de ce graphique. Il y a une asymptote verticale, l’axe des ordonnées et une asymptote horizontale d’équation 𝑦 égale moins trois. Peut-on penser à une fonction dont le graphique a des caractéristiques très similaires? Eh bien, voici un graphique de la fonction inverse 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥. Cela ne correspond pas exactement au graphique de notre question. Mais il y a une forte ressemblance entre les graphiques. Nous allons utiliser des transformations de graphiques pour transformer ce graphique dans le graphique de notre question.

Comme le graphique de la question, le graphique de la fonction inverse a une asymptote verticale et une asymptote horizontale. Mais contrairement au graphique de notre question, qui, à gauche de l’axe des ordonnées, s’approche de l’asymptote verticale en allant vers le haut, le graphique de la fonction inverse s’approche de cette asymptote de gauche en allant vers le bas. Les représentations graphiques sont également différentes à droite de l’axe des ordonnées. La fonction représentée à gauche augmente lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro. Et donc sa représentation graphique vient du bas vers le haut. Alors que, la fonction inverse descend lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro. Et donc sa représentation graphique descend du haut vers le bas à droite de l’axe des ordonnées.

Comment pouvons-nous transformer le graphique à droite pour le rendre plus semblable au graphique à gauche de notre question ? Une chose que nous pourrions faire est d’appliquer la symétrie axiale à ce graphique par rapport à l’axe des abscisses. Voici un rapide aperçu de ce à quoi ressemble ce graphique ayant subi une symétrie axiale. Nous pouvons voir que le graphique après la symétrie axiale correspond à ce qu’il faut à gauche et à droite de l’axe des ordonnées, en remontant pour s’approcher de l’asymptote verticale à gauche de l’axe des ordonnées et en augmentant du bas à droite de l’axe. Quelle est la fonction associée à ce graphique après la symétrie ? Si vous appliquez la symétrie à la courbe de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des abscisses, vous obtenez la courbe de moins 𝑓 de 𝑥. Nous avons commencé avec la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥, la courbe suite à la symétrie représente 𝑓 de 𝑥 égale moins un sur 𝑥. Avant de ranger et de passer à l’étape suivante, nous noterons qu’au lieu d’appliquer la symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, nous aurions pu choisir la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. En regardant la symétrie de cette image, vous pouvez deviner que la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées vous donne la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale moins un sur 𝑥 aussi. Et vous auriez raison. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées transforme la courbe de 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de moins 𝑥. Comme nous avons commencé avec 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥, nous nous retrouverions avec 𝑓 de 𝑥 égale un sur moins 𝑥 qui peut être réécrit comme 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un sur 𝑥.

Maintenant que nous avons réarrangé, nous pouvons plus facilement comparer le graphique de notre estimation améliorée, 𝑓 de 𝑥 égale moins un sur 𝑥, avec le graphique de notre question. L’asymptote verticale correspond au graphique de la question. C’est l’axe des ordonnées d’équation 𝑥 égale zéro. Cependant, l’asymptote horizontale n’est pas où elle devrait être. C’est l’axe des abscisses avec l’équation 𝑦 égale zéro et non la droite d’équation 𝑦 égale moins trois, comme dans le graphique de notre question. Nous devons transformer ce graphique à l’aide d’une translation vers le bas de trois unités pour qu’il corresponde au graphique de notre question.

Nous pouvons tracer un rapide aperçu de ce à quoi ressemblerait ce graphique après la translation. Et cela semble bien correspondre. La question est de savoir quelle fonction ce graphique représente-t-il après la translation. La translation de la courbe de 𝑓 de 𝑥 de 𝑐 unités dans le sens positif de l’axe des ordonnées transforme cette courbe à la courbe de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Nous appliquons une translation de trois unités. Donc, cela fait trois unités dans le sens négatif de l’axe des ordonnées ou moins trois unités dans le sens positif de l’axe des ordonnées. Et donc nous soustrayons trois de notre fonction en obtenant 𝑓 de 𝑥 égale moins un sur 𝑥 moins trois. Et peut-être en essayant quelques points sur le graphique dans notre question, nous pouvons nous convaincre que c’est vraiment le graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins un sur 𝑥 moins trois. Aucune mise à l’échelle ou dilatation supplémentaire n’est requise.

Récapitulons comment nous avons résolu cette question. Nous avons commencé par le graphique de la fonction inverse. C’est la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥, ce qui nous semblait être un bon point de départ car elle avait une asymptote verticale et horizontale comme celle de notre question. Certes, c’était un meilleur point de départ qu’une représentation graphique d’une droite ou une parabole. Et nous avons ensuite appliqué des transformations de graphiques successives. Tout d’abord, une symétrie axiale, puis une translation dans la direction de l’axe des ordonnées jusqu’à ce que nous ayons une correspondance parfaite. Un fait de transformation que nous n’avons pas utilisé est que la translation de 𝑐 unités dans le sens positif dans la direction de l’axe des 𝑥 transforme le graphique de 𝑓 de 𝑥 au graphique de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑐. Nous aurions dû utiliser ce fait si l’asymptote verticale du graphique de notre question n’avait pas été l’axe des ordonnées.

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