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Vidéo de question : Calcul de l’aire du triangle à l’aide du déterminant d’une matrice Mathématiques

Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du triangle dont les sommets sont les points de coordonnées (0, -1), (0, 2) et (5, 0).

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Transcription de vidéo

Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du triangle dont les sommets sont les points de coordonnées zéro, moins un; zéro, deux; et cinq, zéro.

Pour résoudre un problème comme celui-ci, nous avons une formule. Cette formule nous indique l’aire d’un triangle. Il s’agit d’une façon de la trouver en utilisant les déterminants. Ainsi, nous avons l’aire d’un triangle est égale à plus ou moins un demi. Attention, cela ne signifie pas qu’il y a deux réponses, plus et moins un demi. Cela signifie que nous utilisons soit plus soit moins un demi, selon ce qui nous donne un résultat positif. Ceci parce que nous avons affaire à une aire. Nous voulons donc un résultat positif. Puis, nous multiplions cela par le déterminant de la matrice 𝑥 un, 𝑦 un, un; 𝑥 deux, 𝑦 deux, un; 𝑥 trois, 𝑦 trois, un. Ici, 𝑥 un, 𝑦 un; 𝑥 deux, 𝑦 deux; et 𝑥 trois, 𝑦 trois sont les coordonnées de chacun des sommets de notre triangle.

Ainsi, j’ai nommé chacune des coordonnées. Nous avons donc 𝑥 un, 𝑦 un; 𝑥 deux, 𝑦 deux; et 𝑥 trois, 𝑦 trois. Maintenant, si nous substituons par nos valeurs, nous obtenons que notre aire est égale à plus ou moins un demi multiplié par le déterminant de la matrice zéro, moins un, un; zéro, deux, un; cinq, zéro, un.

Alors, rappelons-nous rapidement comment trouver le déterminant d’une matrice trois trois. Ainsi, si nous avons la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, alors le déterminant de cette matrice est égal à 𝑎 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 moins 𝑏 ; puis, nous multiplions 𝑏 par le déterminant de la sous-matrice 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 multiplié par le déterminant de la sous-matrice 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.

Ainsi, nous allons avoir l’aire égale à plus ou moins un demi multiplié, puis, nous avons zéro. Ceci parce que notre 𝑎, le premier élément de la première ligne et colonne, vaut zéro. Puis, nous multiplions par le déterminant de la sous-matrice deux, un, zéro, un. Nous obtenons cela parce que nous supprimons la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve notre premier élément.

Quand nous faisons cela, voici ce qui reste. Puis, nous avons moins. Ensuite, nous avons moins un multiplié par le déterminant de la sous-matrice zéro, un, cinq, un. Encore une fois, nous l’avons obtenue en supprimant la ligne et la colonne dans lesquelles se trouvait notre élément.

Il convient de noter que les coefficients ont un signe devant eux. Cela est déterminé par la colonne. Première colonne, positive; deuxième colonne, négative; troisième colonne, positive ; et cetera. Cependant, puisque nous soustrayons un nombre négatif, nous réécrivons ceci en ajoutant un multiplié par le déterminant de la sous-matrice zéro, un, cinq, un. Enfin, nous ajoutons un, encore une fois, nous avons un déterminant. Cette fois, nous avons celui de la sous-matrice zéro, deux, cinq, zéro.

Maintenant, pour passer à la prochaine étape, nous devons nous rappeler comment nous trouvons le déterminant d’une matrice deux deux. La façon dont nous le faisons est la suivante : regardons le déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Il est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Ainsi, nous multiplions puis soustrayons. Très bien.

Maintenant, utilisons cela sur notre exemple. Ainsi, nous allons avoir que l’aire est égale à plus ou moins un demi, ensuite, nous avons un zéro. Ceci parce que zéro multiplié par quelque chose est nul. Puis, nous avons zéro multiplié par un moins un multiplié par cinq. Nous obtenons ceci grâce à notre multiplication croisée. Puisque le coefficient ou la valeur multipliée par le déterminant n’est que un, nous n’avons rien à faire de plus. Puis, nous avons plus zéro multiplié par zéro moins deux multiplié par cinq. Encore une fois, nous utilisons la multiplication croisée ici. Puisque le coefficient ou la valeur qui a été multipliée par le déterminant était un, nous n’avons pas eu à multiplier trois par autre chose.

Nous obtenons donc que l’aire est égale à plus ou moins un demi multiplié par moins cinq moins 10. Ainsi, cela signifie que nous pouvons décider quell signe donner à un demi. Je vais le prendre négatif. En effet, moins cinq moins 10 donne moins 15. Ainsi, par conséquent, nous avons besoin d’un négatif pour nous donner un positif.

En fin de compte, l’aire est égale à moins un demi multiplié par moins 15. Ainsi, cela va nous donner que l’aire du triangle de sommets zéro, moins un; zéro, deux; et cinq, zéro est de 7.5.

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