Vidéo question :: Résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues avec des coefficients rationnelles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Résolvez le système d’équations suivant 𝑥 sur six plus 𝑦 sur six égal à un et 𝑥 sur six plus 𝑦 sur neuf égal à 17 sur deux.

Nous cherchons le point de coordonnées 𝑥 et 𝑦 pour lequel ces deux égalités sont vraies. Alors, quand je vois ces fractions, la première chose à faire est de s’en débarrasser avant de commencer le calcul. Nous essayons de nous débarrasser de six, neuf et deux au dénominateur. Cela signifie que nous devons les multiplier par leur plus petit commun multiple. Six, neuf et deux sont tous divisibles par 18. Multiplions donc ces deux équations par 18. 18 fois 𝑥 sur six est égal à 18𝑥 sur six. 18 divisé par six égale trois. Ainsi, nous avons maintenant trois 𝑥. De même pour 𝑦. 18 sur six 𝑦 est égal à trois 𝑦. 18 fois un est égal à 18. Puis, pour la deuxième équation, 18 fois 𝑥 sur six donne trois 𝑥, comme dans la première équation. 18 fois 𝑦 sur neuf donne 18 sur neuf 𝑦, ce qui équivaut à deux 𝑦. 18 divisé par neuf égal deux. Puis, nous multiplions 18 par 17 sur deux. 18 fois 17 sur deux peut se simplifier. 18 divisé par deux donne neuf. Maintenant, nous devons multiplier neuf par 17, ce qui donne 153.

Nous pouvons appeler les équations équation un et équation deux. Nous voulons soustraire l’équation deux à l’équation un. En faisant cela, nous obtenons trois 𝑥 moins trois 𝑥 est égal à zéro. Trois 𝑦 moins deux 𝑦 égal 𝑦. Zéro plus 𝑦 est égal à 𝑦.

Faisons attention ici. Nous avons 18 et 153. Nous soustrayons. 18 moins 153 égale moins 135. Ainsi, 𝑦 est égal à moins 135. Nous pouvons prendre l’équation un et nous pouvons remplacer la valeur de 𝑦. Nous pouvons remplacer 𝑦 par moins 135. Cependant, il y a une chose à faire pour simplifier un peu le calcul. Tous les coefficients sont divisibles par trois. Je vais donc diviser chaque partie de l’équation un par trois. Trois 𝑥 divisé par trois égale 𝑥. Trois 𝑦 divisé par trois égale 𝑦. 18 divisé par trois égale six. Maintenant, je vais remplacer 𝑦 par moins 135. 𝑥 plus moins 135 égale six. Pour déterminer 𝑥, nous ajoutons 135 des deux côtés. 𝑥 est égal à six plus 135. 𝑥 est égal à 141.

Les droites associées à ces équations se croisent au point de coordonnées 𝑥 égal à 141 et 𝑦 égal à moins 135.

Je voudrais parler de ce qui se serait passé si nous ne nous étions pas débarrassés de ces fractions au début. Que se serait-il passé si nous n’avions pas multiplié par 18 ? Nous allons commencer avec les deux mêmes équations. Je vois qu’il y a 𝑥 sur six dans ces deux équations. Cela me pousse à penser que je pourrais substituer une équation dans l’autre. Ainsi, je soustrais 𝑦 sur six des deux côtés de la première équation, ce qui me donne une nouvelle équation. 𝑥 sur six égale un moins 𝑦 sur six. Voici la nouvelle équation. Nous allons remplacer avec la valeur de 𝑥 trouvée dans l’équation deux. Nous savons que 𝑥 sur six égal un moins 𝑦 sur six. Ainsi, à la place de 𝑥 sur six dans la deuxième équation, nous écrivons un moins 𝑦 sur six.

Maintenant, nous allons essayer de regrouper les termes similaires, moins 𝑦 sur six plus 𝑦 sur neuf. Il n’est pas possible d’additionner des fractions si elles n’ont pas un dénominateur commun. Il faut trouver un nouveau dénominateur commun : 18. Moins 𝑦 sur six est égal à moins trois sur 18. Plus 𝑦 sur neuf est égal à deux 𝑦 sur 18. Maintenant, nous pouvons additionner ces deux fractions en additionnant leurs numérateurs. Moins trois 𝑦 plus deux 𝑦 égale moins 𝑦. Le dénominateur n’a pas changé. Nous avons toujours 18.

Pour déterminer 𝑦, nous avons besoin d’isoler 𝑦. Ainsi, nous soustrayons un des deux côtés de l’équation. Moins 𝑦 sur 18 égal 17 sur deux moins un. Un est équivalent à deux sur deux. Je vais donc réécrire cela. Ensuite, ces fractions ont un dénominateur commun. Je peux dire que 17 moins deux égale 15 et le dénominateur reste le même, deux. Ensuite, nous multiplions les deux côtés de l’équation par 18. Nous avons moins 𝑦 égal. Nous pouvons simplifier 18 divisé par deux égale neuf. Neuf fois 15 est égal à 135. Moins 𝑦 est égal à 135. Ainsi, 𝑦 est égal à moins 135.

Nous n’avons toujours pas fini, car nous ne connaissons que la valeur de 𝑦. Nous devrons remplacer la valeur de 𝑦 dans l’équation un. Ici, nous avons ceci. 𝑥 sur six est égal à un moins moins 135 sur six. Faisons attention ici. Nous soustrayons un nombre négatif. Il faut donc changer le signe. A la place du nombre entier un, nous pouvons écrire la fraction six sur six. Puis, nous pouvons additionner les deux numérateurs. Six plus 135 égale 141. Le dénominateur n’a pas changé. Nous avons toujours six. Si nous multiplions par six, les six se simplifient. Il nous reste 𝑥 égal à 141.

Ces deux méthodes fonctionnent. Mais généralement, je pense que lorsqu’on travaille avec des fractions, il y a plus de risques de se tromper. Il est souvent plus simple de se débarrasser des fractions dès le début. La dernière chose à faire est de vérifier si les valeurs obtenues vérifient bien les égalités. Est-ce que 141 sur six plus moins 135 sur six égal un ?

Lorsque nous additionnons ces deux fractions, nous obtenons six sur six. Six sur six est égal à un. Continuons, 141 sur six plus moins 135 sur neuf est égal à 17 sur deux. Nous voulons savoir si c’est vrai. Pour vérifier cela, j’utilise la calculatrice. 141 divisé par six est égal à 23 et demi. Moins 135 divisé par neuf égale moins 15. 17 divisé par deux est égal à huit et demi. 23 et demi moins 15 est égal à huit et demi. Les solutions sont 𝑥 égale 141. 𝑦 égal à moins 135.