Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle obtusangle en 𝐴 tel que 𝑏 est égal à 15 centimètres, tangente de 𝐶 est égal à six sur cinq et la mesure de l’angle 𝐵 est égale à 27 degrés. Déterminez les longueurs 𝑎 et 𝑐, en donnant la réponse à l’unité près.
C’est toujours une bonne idée de commencer par tracer une figure. Cela ne doit pas nécessairement être à l’échelle, mais il devrait être à peu près proportionnel. Nous pouvons donc vérifier la pertinence des réponses que nous obtenons. Nous étiquetons le triangle de sorte que l’angle obtus soit l’angle 𝐴. Nous ajouterons ensuite les autres informations que nous connaissons. Puisqu’on nous a dit que la tangente de 𝐶 est égale à six cinquièmes, nous pouvons résoudre cette équation pour trouver l’angle en 𝐶. La tangente réciproque de la tangente de 𝐶 est égale à 𝐶. Et la tangente réciproque de six cinquièmes est égale à 50,194 ainsi de suite, degrés. Puisque nous savons que nous allons arrondir à une étape ultérieure, il est préférable de ne pas arrondir à ce stade. Cela permettra d’éviter les erreurs en arrondissant trop tôt.
Ensuite, nous pouvons résoudre la mesure de l’angle en 𝐴. Nous savons que les angles d’un triangle ont une somme de 180. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐴 sera égale à 180 degrés moins 27 degrés plus 50,194 ainsi de suite. La résolution nous donne 102,805 ainsi de suite, degrés. Cet angle est un angle obtus ; il est strictement supérieur à 90 degrés. Maintenant, nous avons un triangle non-rectangle. Et nous connaissons les longueurs d’un côté et tous les angles. Cela signifie que nous pouvons utiliser la loi des sinus pour trouver toute mesure manquante. Nous n’utilisons pas la loi des cosinus ici car cela nécessite un minimum de deux côtés connus.
La formule de la loi des sinus est 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵, qui est égale à 𝑐 sur sinus 𝐶. Alternativement, cela peut être écrit comme sinus 𝐴 sur 𝑎 est égal à sinus 𝐵 sur 𝑏, ce qui est égal à sinus 𝐶 sur 𝑐. Puisque nous essayons de trouver la longueur du côté, nous utiliserons la première forme. L’une ou l’autre forme fonctionnera, mais en utilisant la première forme, nous réduisons la quantité de réarrangements que nous devons faire pour résoudre. Avant de poursuivre, étiquetons les côtés de notre triangle. Le côté opposé à l’angle 𝐴 sera étiqueté avec 𝑎 minuscule. Le côté opposé à l’angle 𝐵 sera 𝑏 minuscule. Et le côté opposé à l’angle 𝐶 sera 𝑐 minuscule.
Tout d’abord, calculons la longueur du côté 𝑎. Cela signifie que nous aurons besoin de 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵. Nous utilisons 𝑏 sur sinus 𝐵 car nous connaissons à la fois la valeur 𝑏 et l’angle en 𝐵. En substituant ce que nous savons, nous obtenons 𝑎 sur sinus de 102,805, ainsi de suite, ce qui égale 15 sur sinus de 27 degrés. Encore une fois, nous allons utiliser la valeur exacte de la mesure de l’angle 𝐴. Pour résoudre, nous multiplierons les deux membres de l’équation par le sinus de 102,8, ainsi de suite. La valeur de 𝑎 est donc égale à 15 sur sinus 27 degrés fois sinus 102,8, ainsi de suite, degrés. En ajoutant cela à la calculatrice, on obtient 𝑎 égale 32,2185, ainsi de suite. Cette valeur à l’unité près sera de 32 centimètres.
Nous allons suivre la même démarche pour trouver la longueur du côté 𝑐. En utilisant 𝑐 sur sinus 𝐶 est égal à 𝑏 sur sinus 𝐵. En substituant ce que nous savons, nous aurons 𝑐 sur sinus de 50,194, ainsi de suite, degrés est égal à 15 sur sinus de 27 degrés. Ensuite, nous multiplierons par sinus de 50,194, ainsi de suite, degrés. La valeur de 𝑐 est égale à 15 sur sinus de 27 degrés fois sinus de 50,194, ainsi de suite, degrés, ce qui nous donne 25,382, ainsi de suite. Et à l’unité près, le côté 𝑐 est alors de 25 centimètres.
