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Vidéo de question : Déterminer l’expression d’une fonction compte tenu de sa dérivée seconde en utilisant l’intégration Mathématiques

On sait que 𝑓″(𝑥) = 3𝑥⁵ + 3𝑥³ + 5𝑥 + 2. Déterminez la forme générale de 𝑓(𝑥).

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Transcription de vidéo

On sait que 𝑓 seconde de 𝑥 égale trois 𝑥 à la puissance cinq plus trois 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 plus deux, déterminez la forme générale de 𝑓 de 𝑥. Nous savons comment trouver la dérivée de différentes fonctions. Par exemple, si nous prenons un polynôme 𝑔 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins un, nous pouvons dériver cette expression terme à terme en utilisant la règle de dérivation d’une puissance qui nous dit de multiplier le coefficient par la puissance, puis de réduire la puissance de un. Nous savons également que les dérivées des constantes équivalent à zéro.

Donc, si nous appliquons cela à chaque terme, nous constatons que 𝑔 prime de 𝑥 est égal à six 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus cinq. Nous pouvons à nouveau dériver ceci pour trouver 𝑔 seconde de 𝑥. Cela nous donne 12𝑥 plus six. Mais ici, pour ce problème, nous voulons trouver la forme générale de la primitive. Nous avons donc 𝑓 seconde de 𝑥 et on nous a demandé de déterminer 𝑓 de 𝑥. Nous devons donc travailler en marche arrière. Mais comment fait-on cela? Eh bien, si nous savons différencier, alors nous pourrons certainement faire l’opération contraire, l’intégration. Nous prenons donc nos règles de dérivation et nous les inversons.

Le contraire de la réduction de la puissance d’une unité est d’ajouter un à la puissance. Le contraire de la multiplication du coefficient par la puissance est la division par la puissance. Notez qu’ici nous avons multiplié par l’ancienne puissance. Donc, pour l’inverse, nous divisons par la nouvelle puissance. Et parce que la dérivée d’une constante est zéro, nous devons ajouter une constante d’intégration. Alors, trouvons maintenant la forme générale d’une primitive de 𝑓 seconde de 𝑥. Tout comme pour la dérivation, nous pouvons intégrer terme par terme. Nous commençons avec trois 𝑥 à la puissance cinq. Et nous augmentons la puissance d’une unité pour nous donner trois 𝑥 à la puissance six. Et puis nous divisons par la nouvelle puissance six.

Nous pouvons en fait simplifier ce terme car trois sur six est un sur deux. Nous suivons les mêmes règles pour notre prochain terme. Nous ajoutons un à la puissance pour obtenir trois 𝑥 à la puissance quatre et divisons par la nouvelle puissance quatre. De même, nous augmentons la puissance de cinq 𝑥 pour obtenir cinq 𝑥 au carré et divisons par la nouvelle puissance. Et maintenant, nous intégrons la constante, deux. Rappelez-vous comment, dans le premier exemple, nous avons obtenu la dérivée de cinq 𝑥 qui est cinq. Donc, intégrer cinq nous donne cinq 𝑥. De la même manière, intégrer deux nous donne deux 𝑥. Cette étape n’est pas tout à fait terminée, car nous devons ajouter une constante d’intégration, 𝐶. Cela nous donne donc 𝑓 prime de 𝑥 mais nous n’avons pas encore fini car nous essayons de déterminer 𝑓 de 𝑥. Nous devons donc intégrer une fois de plus.

En suivant la même procédure que précédemment, 𝑥 à la puissance six sur deux s’intègre à 𝑥 à la puissance sept sur deux divisé par sept. Nous pourrions écrire ceci comme 𝑥 à la puissance sept sur deux multiplié par un sur sept, ce qui est juste 𝑥 à la puissance sept sur 14. Et maintenant, nous passons au terme suivant. Si on ajoute un à la puissance et qu’on divise par la nouvelle puissance on obtient trois 𝑥 à la puissance cinq sur quatre, le tout divisé par cinq, que nous pouvons réécrire comme trois 𝑥 à la puissance cinq sur 20.

Maintenant, nous continuons et intégrons cinq 𝑥 au carré sur deux, puis nous simplifions ce qui donne cinq 𝑥 au cube sur six. Et puis l’intégrale de deux 𝑥 nous donne deux 𝑥 au carré sur deux. Et les deux se simplifient pour donner 𝑥 au carré. Et maintenant, nous devons également intégrer notre constante 𝐶. Et comme pour le cas de l’intégrale de la constante deux qui est égal à deux 𝑥, l’intégrale de 𝐶 est égal à 𝐶𝑥. Et enfin, nous devons ajouter une nouvelle constante d’intégration, que nous appellerons cette fois 𝐷. Cela nous donne donc notre réponse finale. 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance sept sur 14 plus trois 𝑥 à la puissance cinq sur 20 plus 5𝑥 au cube sur six plus 𝑥 au carré plus 𝐶𝑥 plus 𝐷.

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