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Vidéo de question : Déterminer les équations paramétriques du diamètre d’un cercle Mathématiques

𝐴𝐵 est le diamètre d’un cercle de centre 𝑀, où 𝐴 = (2, 3) et 𝐵 = (4, 5). Déterminez l’équation paramétrique de la droite passant par le centre du cercle et dont le vecteur directeur a pour coordonnées 〈5, 3〉.

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Transcription de vidéo

Le segment 𝐴𝐵 est le diamètre d’un cercle de centre 𝑀, où 𝐴 est le point de coordonnées deux, trois et 𝐵 est le point de coordonnées quatre, cinq. Déterminez l’équation paramétrique de la droite passant par le centre du cercle et dont le vecteur directeur a pour coordonnées cinq, trois.

Dans cette question, on nous donne des informations sur un cercle et une droite : nous devons utiliser ces informations pour déterminer l’équation paramétrique de la droite. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’équation paramétrique d’une droite. Il s’agit d’une paire d’équations de la forme 𝑥 est égal à 𝑥 indice zéro plus 𝑎 fois 𝑘 et 𝑦 est égal à 𝑦 indice zéro plus 𝑏 multiplié par 𝑘. La valeur 𝑘 est appelée scalaire puisqu’elle peut prendre n’importe quelle valeur, le point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro se trouve sur la droite et le vecteur 𝐚, 𝐛 est un vecteur non nul qui est parallèle à la droite.

Il convient de noter que nous pouvons choisir n’importe quel point de la droite pour être le point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro. Nous pouvons choisir n’importe quel vecteur non nul parallèle à la droite pour être le vecteur 𝐚, 𝐛. Tout cela nous donnera des équations paramétriques équivalentes de la droite. Ainsi, pour déterminer l’équation paramétrique de cette droite, nous devons déterminer les coordonnées d’un point situé sur la droite et d’un vecteur parallèle à la droite. Nous pouvons le faire en remarquant d’abord qu’on nous donne un vecteur directeur de la droite. Il s’agit du vecteur cinq, trois. Puisque les vecteurs directeurs sont des vecteurs parallèles à la droite, nous pouvons simplement définir notre valeur de 𝑎 égale à cinq et notre valeur de 𝑏 égale à trois.

Par conséquent, pour déterminer l’équation paramétrique de cette droite, il suffit de déterminer les coordonnées d’un point qui se trouve sur la droite. Nous pouvons le faire en notant qu’on nous dit que la droite passe par le centre du cercle 𝑀. Nous voulons donc déterminer les coordonnées du centre de ce cercle. Nous pouvons le faire en notant que le segment 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle or, on nous donne les coordonnées de ses extrémités.

Dessinons les informations qui nous sont données. Nous avons le cercle de centre 𝑀 et les points 𝐴 deux, trois et 𝐵 quatre, cinq, qui forment un diamètre du cercle, donc ce dernier passe par le centre du cercle. En particulier, nous pouvons remarquer que le centre du cercle sera le milieu des diamètres. Étant donné que tout segment de droite, du centre du cercle à sa circonférence, est un rayon du cercle, la longueur de ces deux segments est donc égale. Nous pouvons trouver les coordonnées du centre de ce cercle. Appelons-le 𝐶 et rappelons comment trouver les coordonnées du point médian étant donné les extrémités du segment de droite.

Nous trouvons simplement la moyenne des coordonnées 𝑥 et des coordonnées 𝑦. 𝐶 aura pour coordonnées deux plus quatre sur deux, trois plus cinq sur deux. 𝐶 est le point de coordonnées trois, quatre. Rappelez-vous, on nous dit que notre droite passe par le centre du cercle 𝐶. Nous pouvons donc choisir 𝑥 indice zéro égal à trois et 𝑦 indice zéro égal à quatre dans notre équation paramétrique de la droite. Substituer 𝑎 est égal à cinq, 𝑏 est égal à trois, 𝑥 indice zéro est égal à trois et 𝑦 indice zéro est égal à quatre dans notre équation paramétrique nous donne que 𝑥 est égal à trois plus cinq 𝑘 et 𝑦 est égal à quatre plus trois 𝑘.

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