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Vidéo de question : Calcul du produit vectoriel de deux vecteurs affichés sur une grille 3D Physique

La figure montre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carrés de la grille a un côté d'une longueur égale à 1. Calculez 𝐀 × 𝐁.

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Transcription de vidéo

La figure montre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carrés de la grille a un côté d'une longueur égale à un. Calculez 𝐀 vectoriel 𝐁.

Cette question nous interroge sur les produits vectoriels. Plus précisément, on nous demande de calculer le produit vectoriel 𝐀 vectoriel 𝐁, où les vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous sont donnés sous la forme de flèches tracées sur un diagramme, et on nous dit que les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦.

Commençons par rappeler la définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, 𝐂 et 𝐃, et supposons que les deux se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire ces vecteurs sous forme de composante avec une composante 𝑥 marquée avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 marquée avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau. Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, le produit vectoriel 𝐂 vectoriel 𝐃 est donné par la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃 moins la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃. Et tout cela est multiplié par 𝐤 chapeau, qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑧.

Cette expression générale pour le produit vectoriel nous dit que si nous voulons calculer 𝐀 vectoriel 𝐁, alors nous allons devoir calculer les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs 𝐀 et 𝐁. Les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont tous deux représentés dans le diagramme qui nous est donné dans la question. Et la question nous dit également que chacun des carrés de la grille de ce diagramme a un côté d’une longueur égale à un. Cela signifie que pour trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁, il suffit de compter le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend dans la direction 𝑥 et la direction 𝑦.

Commençons par le faire pour le vecteur 𝐀. En traçant de la pointe du vecteur 𝐀 jusqu’à l’axe des 𝑥, nous pouvons voir que le vecteur 𝐀 s’étend sur une, deux, trois, quatre unités dans le sens négatif suivant 𝑥. Et en traçant à travers l’axe des 𝑦, nous pouvons voir que 𝐀 s’étend sur une, deux, trois unités dans le sens positif suivant 𝑦. Nous savons donc que la composante 𝑥 de 𝐀 est moins quatre et la composante 𝑦 est plus trois. Sous forme de composantes, nous avons donc que le vecteur 𝐀 est égal à moins quatre 𝐢 chapeau plus trois 𝐣 chapeau.

Faisons maintenant la même chose avec le vecteur 𝐁. Si nous traçons à partir de la pointe du vecteur 𝐁 jusqu’à ce qu’il rencontre l’axe des 𝑥, alors nous pouvons voir que 𝐁 s’étend sur un, deux, trois, quatre carrés dans le sens positif suivant 𝑥. Et si nous traçons jusqu’à l’axe des 𝑦, nous voyons que 𝐁 s’étend sur un, deux, trois, quatre, cinq carrés dans le sens positif suivant 𝑦. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐁 est plus quatre et la composante 𝑦 est plus cinq. Donc, en écrivant le vecteur 𝐁 sous forme de composante, nous avons que 𝐁 est égal à quatre 𝐢 chapeau plus cinq 𝐣 chapeau.

Nous avons maintenant chacun de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁 écrits sous forme de composantes, ce qui signifie que nous sommes maintenant prêts à calculer le produit vectoriel 𝐀 vectoriel 𝐁. Dans notre expression générale pour le produit vectoriel de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme est donné par la composante 𝑥 du premier vecteur du produit multiplié par la composante 𝑦 du deuxième vecteur du produit. Dans notre cas, le premier vecteur de notre produit est 𝐀 et le deuxième vecteur est 𝐁. Nous avons donc besoin de la composante 𝑥 du vecteur 𝐀, qui est moins quatre, multipliée par la composante 𝑦 du vecteur 𝐁, qui est cinq. Nous soustrayons ensuite un deuxième terme de ce premier.

Ce deuxième terme est la composante 𝑦 du premier vecteur du produit multipliée par la composante 𝑥 du deuxième vecteur du produit. Donc, pour nous, c’est la composante 𝑦 du vecteur 𝐀, qui est trois, multipliée par la composante 𝑥 du vecteur 𝐁, qui est quatre. Et puis tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤 chapeau.

La dernière étape consiste à calculer cette expression ici. Le premier terme, moins quatre multiplié par cinq, nous donne moins 20. Et le deuxième terme, trois multiplié par quatre, nous donne 12. Lorsque nous calculons moins 20 moins 12, nous obtenons une valeur moins 32. Et donc notre réponse à la question est que le produit vectoriel 𝐀 vectoriel 𝐁 est égal à moins 32𝐤 chapeau.

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