Transcription de la vidéo
Une corde de longueur 90 centimètres est située à 42 centimètres du centre de son cercle. Calculez l’aire du segment circulaire mineur, au centimètre carré près.
Nous avons des informations sur la corde d’un cercle. Commençons par dessiner un schéma de ce cercle. Nous avons une corde ; appelons-la 𝐴𝐵. Nous savons que sa longueur est de 90 centimètres. Maintenant, on nous dit aussi qu’elle est à 42 centimètres du centre du cercle ; appelons le centre 𝑂. Puis, nous savons que la distance la plus courte de 𝑂 à la corde 𝐴𝐵 doit être de 42 centimètres.
Bien, nous savons que la distance la plus courte d’une droite à un point se trouve en construisant la bissectrice perpendiculaire à cette droite. Ainsi, nous savons que cet angle ici doit être un angle droit. Maintenant, nous cherchons à trouver l’aire du segment circulaire mineur ; il s’agit de la zone en rose. Ainsi, pour ce faire, nous allons devoir calculer à la fois la longueur du rayon de notre cercle et l’angle du secteur. Maintenant, j’ai appelé cet angle 𝜃. Dessinons un des triangles rectangles de notre schema en un peu plus grand pour pouvoir voir ce que nous devons faire ensuite.
Nous savons qu’un côté du triangle mesure 42 centimètres et que l’autre côté mesure la moitié de 90 ; soit 45 centimètres. Maintenant, cette longueur sera ici de 𝑟 ou 𝑟 centimètres, où 𝑟 est le rayon. Nous pouvons également voir que cet angle doit mesurer un demi 𝜃. Commençons par trouver la longueur du rayon. Notez que nous avons un triangle rectangle. Ainsi, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de 𝑟. Il dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Ainsi, si nous avons un triangle dont l’hypoténuse est de 𝑐 unités et les deux autres côtés sont de 𝑎 et 𝑏 unités de longueur, nous disons que 𝑎 carré plus 𝑏 carré est égal à 𝑐 carré. Maintenant, dans ce cas, notre hypoténuse est de 𝑟 centimètres. Ainsi, nous pouvons dire que 42 au carré plus 45 au carré doit être égal à 𝑟 au carré. 42 au carré plus 45 au carré donne 3789. 𝑟 est égal à la racine carrée de cela. Nous obtenons trois fois la racine carrée de 421.
Ainsi, nous connaissons maintenant la longueur du rayon de notre cercle, mais qu’en est-il de 𝜃 ? Bien, cette fois, nous allons utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle. Si nous considérons un demi 𝜃 comme notre angle inclus, alors le côté opposé est de 45 centimètres et le côté adjacent est de 42 centimètres. Le ratio tangente dit que tangente 𝜃 est égal au côté opposé sur le côté adjacent. Bien, nous avons défini 𝜃 comme étant égal à l’angle de notre secteur. Ainsi, dans ce cas, nous disons que tangente d’un demi de 𝜃 est 45 sur 42.
Pour trouver 𝜃, nous prenons la tangente réciproque des deux côtés, puis nous multiplions par deux. Ainsi, nous trouvons que 𝜃 est égal à deux fois la tangente réciproque de 45 sur 42, ce qui est égal à 93.94 degrés. Maintenant, remarquez que nous n’allons pas arrondir ; nous allons en fait utiliser cette valeur exacte pour 𝜃 dans nos calculs ultérieurs. Ainsi, maintenant, nous connaissons le rayon de notre cercle et l’angle du secteur, comment pouvons-nous trouver l’aire du segment ?
Bien, si nous regardons attentivement, nous voyons que l’aire de notre segment est trouvée en trouvant l’aire du secteur puis en enlevant l’aire du triangle. Bien, l’aire d’un secteur d’angle 𝜃 est 𝜃 sur 360 fois 𝜋𝑟 au carré. Nous pouvons utiliser la formule un demi 𝑎𝑏 sinus 𝑐 pour trouver l’aire du triangle. Nous avons un demi de 𝑟 au carré fois sinus 𝜃. Remplaçons dans la formule tout ce que nous savons de notre secteur.
Remarquez que nous utilisons la valeur de 𝑟 au carré plutôt que la valeur de 𝑟. Nous allons reporter la valeur de 𝜃 que nous avons calculée. Ainsi, l’aire du segment est de 93.94 etc sur 360 fois 𝜋 fois 3789 moins un demi fois 3789 fois le sinus de 93.94. Cela nous donne 1216.47 etc. Maintenant, on nous dit de donner notre réponse au centimètre carré près. Ainsi, cela s’arrondit à 1216. Nous pouvons donc dire que l’aire du petit segment circulaire est de 1216 centimètres carrés.
Maintenant, il est important de réaliser qu’on nous a demandé de trouver l’aire du segment circulaire mineur, en d’autres termes, le segment le plus petit du cercle. Si on nous avait demandé de trouver le segment circulaire majeur, il s’agirait du segment le plus grand de notre cercle.
