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Vidéo de question : Calcul du produit scalaire de deux vecteurs représentés sur une grille Physique

La figure montre deux vecteurs, 𝚨 et 𝚩. Chacun des carrés de la grille du diagramme a un côté de longueur égale à 1. Calculez 𝚨 ⋅ 𝚩.

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Transcription de vidéo

La figure montre deux vecteurs, 𝚨 et 𝚩. Chacun des carrés de la grille du diagramme a un côté de longueur égale à un. Calculez 𝚨 scalaire 𝚩.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs, 𝚨 et 𝚩, sous la forme de flèches dessinées sur un diagramme. On nous demande ensuite de déterminer 𝚨 scalaire 𝚩, le produit scalaire de ces deux vecteurs. Commençons donc par rappeler la définition du produit scalaire de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, que nous appellerons 𝐂 et 𝐃. Et nous supposerons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire ces vecteurs sous forme de composante sous la forme d’une composante 𝑥 marquée avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 marquée avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau.

Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire suivant la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire suivant la direction 𝑦. Alors le produit scalaire 𝐂 scalaire 𝐃 est égal à la composante 𝑥 de 𝐶 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐷 plus la composante 𝑦 de 𝐶 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐷. Donc, en général, le produit scalaire de deux vecteurs est donné par le produit de leurs composantes 𝑥 plus le produit de leurs composantes 𝑦. En regardant cette expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous pouvons voir que si nous voulons calculer le produit scalaire 𝚨 scalaire 𝚩, alors nous allons devoir calculer les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝚨 et 𝚩.

Maintenant, les vecteurs 𝚨 et 𝚩 nous sont donnés comme des flèches dessinées sur un diagramme et la question nous dit que chacun des carrés de ce diagramme a un côté de longueur un. Si nous ajoutons un ensemble d’axes à notre diagramme avec l’origine positionnée à la queue des deux vecteurs, alors nous pouvons facilement compter le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend suivant la direction 𝑥 et dans la direction 𝑦. Et puisque nous savons que chacun de ces carrés a un côté de longueur un, alors le nombre de carrés donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs.

Commençons par compter les carrés du vecteur 𝚨. Nous voyons que 𝐴 s’étend sur deux unités dans la direction 𝑥 positive et a donc une composante 𝑥 de deux, et qu’il s’étend sur quatre unités dans la direction 𝑦 positive, a donc une composante 𝑦 de quatre. On peut donc écrire le vecteur 𝚨 sous forme de composante comme sa composante 𝑥, qui est deux, multipliée par 𝐢 chapeau plus sa composante 𝑦, quatre, multipliée par 𝐣 chapeau. Maintenant, répétons ce processus avec le vecteur 𝚩. Nous voyons que 𝐵 s’étend sur trois carrés dans la direction 𝑥 négative, a donc une composante 𝑥 de moins trois, et qu’il étend également trois carrés dans la direction 𝑦 négative. Donc, sa composante 𝑦 est également moins trois. Ensuite, sous forme de composantes, nous avons que 𝚩 est égal à moins trois 𝐢 chapeau moins trois 𝐣 chapeau.

Maintenant que nous avons nos vecteurs 𝚨 et 𝚩 sous forme de composantes, nous sommes prêts à calculer le produit scalaire 𝚨 scalaire 𝚩. En regardant notre expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme est donné par le produit des composantes 𝑥 de ces deux vecteurs. Donc, dans notre cas, nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝚨, qui est deux, multipliée par la composante 𝑥 de 𝚩, qui est moins trois. Ensuite, nous ajoutons à cela un deuxième terme donné par le produit des composantes 𝑦 des vecteurs. Donc, pour nous, c’est la composante 𝑦 de 𝚨, qui est quatre, multipliée par la composante 𝑦 de 𝚩, qui est moins trois.

La dernière étape qu’il reste à faire est de calculer cette expression ici. Le premier terme est deux multiplié par moins trois, ce qui donne moins six. Et le deuxième terme est quatre multiplié par moins trois, ce qui donne moins 12. Enfin, nous avons moins six plus moins 12, ce qui donne moins 18. Et donc, notre réponse à la question est que le produit scalaire 𝚨 scalaire 𝚩 est égal à moins 18.

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