Vidéo question :: Calcul des longueurs de deux vecteurs à partir de leur produit vectoriel étant donné que les vecteurs sont perpendiculaires entre eux Physique • Première année secondaire

Transcription de la vidéo

Deux vecteurs 𝐚 et 𝐛 ont la même longueur et sont perpendiculaires. Le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛 a une norme de neuf. Quelle est la longueur de chaque vecteur ?

Alors, il s’agit donc d’une question sur les produits vectoriels. Dans cette question, on nous donne la norme du produit vectoriel de deux vecteurs 𝐚 et 𝐛. Et on nous dit que ces vecteurs ont tous deux la même longueur et qu’ils sont perpendiculaires l’un à l’autre. On nous demande de trouver la longueur de chaque vecteur. Commençons par prendre l’information que la question nous donne sur les vecteurs 𝐚 et 𝐛 et essayons de l’utiliser pour écrire des expressions pour 𝐚 et 𝐛 sous forme de composante.

On ne nous dit rien sur l’orientation absolue de l’un ou l’autre vecteur, seulement sur le fait qu’ils sont perpendiculaires. Nous sommes donc libres de les orienter comme nous le souhaitons. Le sens absolu dans l’espace n’affectera pas notre réponse. Et généralement, dans ce cas, il est plus facile de choisir d’orienter les vecteurs le long des axes de coordonnées afin de faire le calcul. Alors, imaginons que notre vecteur 𝐚 pointe le long de l’axe des 𝑥 et que notre vecteur 𝐛 pointe le long de l’axe des 𝑦. Cela répond à l’exigence de la question que les deux vecteurs soient perpendiculaires l’un à l’autre.

On peut alors écrire nos vecteurs 𝐚 et 𝐛 sous forme de composante. Rappelons que 𝐢 est le vecteur unitaire selon la direction 𝑥, de sorte que le vecteur 𝐚 peut être écrit comme la norme de 𝐚 multipliée par le vecteur unitaire 𝐢, et 𝐣 est le vecteur unitaire selon la direction 𝑦, de sorte que le vecteur 𝐛 peut être écrit comme la norme de 𝐛 multipliée par le vecteur unitaire 𝐣. Mais en réalité, la question nous a également donné une autre information sur les vecteurs 𝐚 et 𝐛. On nous a dit que ces deux vecteurs ont la même longueur.

Maintenant, la longueur et la norme d’un vecteur sont équivalentes. Donc, cela signifie que la norme du vecteur 𝐚 doit être égale à la norme du vecteur 𝐛. Donc, fixons la norme de 𝐚 et la norme de 𝐛 à la même valeur, que nous appellerons 𝑚. Ensuite, nous avons que ce vecteur 𝐚 est égal à 𝑚 multiplié par le vecteur unitaire 𝐢, et nous avons que 𝐛 est égal à 𝑚 multiplié par le vecteur unitaire 𝐣. Ainsi, nous avons maintenant des expressions pour le vecteur 𝐚 et le vecteur 𝐛 sous forme de composante. Nous avons donc franchi la première étape.

Alors, et après ? Eh bien, l’autre information que la question nous a donnée concerne le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛. On nous dit que ce produit vectoriel a une amplitude de neuf. Ainsi, une prochaine étape judicieuse serait de calculer le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛. Et puis à partir de là, notre dernière étape sera d’utiliser le produit vectoriel pour trouver la longueur 𝑚 de chacun des vecteurs 𝐚 et 𝐛. Alors, rappelons la définition du produit vectoriel de deux vecteurs.

Tout d’abord, nous allons définir deux vecteurs généraux dans le plan 𝑥𝑦, 𝐀 majuscule et 𝐁 majuscule. Nous pouvons les écrire sous forme de composants comme suit. 𝐀 majuscule est égal à une composante horizontale 𝐴 majuscule indice 𝑥 multiplié par le vecteur unitaire 𝐢 plus une composante verticale 𝐴 majuscule indice 𝑦 multiplié par le vecteur unitaire 𝐣 et de même, pour 𝐁 majuscule, avec une composante horizontale 𝐵 majuscule indice 𝑥 et une composante verticale 𝐵 indice 𝑦. Ensuite, le produit vectoriel 𝐀 vectoriel 𝐁 est égal à la composante 𝑥 de 𝐴 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐵 moins la composante 𝑦 de 𝐴 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐵 le tout multiplié par 𝐤, qui est le vecteur unitaire suivant la direction 𝑧.

Donc, appliquons cela à nos vecteurs de la question, 𝐚 et 𝐛 minuscules. Nous pouvons clarifier ce qui se passe si nous incluons explicitement les composantes 𝑥 et 𝑦 pour les deux vecteurs. Le vecteur 𝐚 n’a qu’une composante 𝑥. Mais nous pouvons réécrire ceci comme 𝐚 est égal à 𝑚 multiplié par 𝐢 plus zéro multiplié par 𝐣 pour inclure explicitement la composante 𝑦 de zéro. Et nous pouvons faire de même pour le vecteur 𝐛 qui n’a qu’une composante 𝑦. Mais nous pouvons explicitement inclure une composante 𝑥 de zéro et la réécrire comme zéro multiplié par 𝐢 plus 𝑚 multiplié par 𝐣.

Alors maintenant, nous voulons calculer le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛. Mais devrions-nous calculer 𝐚 vectoriel 𝐛 ou 𝐛 vectoriel 𝐚 ? Il s’avère en fait que peu importe lequel d’entre eux que nous choisissons de calculer. Pour voir pourquoi, revenons à notre expression générale pour le produit vectoriel. Si au lieu de cela nous écrivions 𝐁 vectoriel 𝐀, notre premier terme serait la composante 𝑥 de 𝐵 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐴. Et notre deuxième terme serait la composante 𝑦 de 𝐵 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐴.

Et puis tout cela sera multiplié par notre vecteur unitaire 𝐤 suivant la direction 𝑧. Le fait de retirer un facteur moins un entre parenthèses nous donne cette expression ici. Ensuite, ces deux signes moins s’annulent pour nous donner un plus. Et si nous inversons ces deux termes entre parenthèses, nous obtenons que le produit vectoriel 𝐁 vectoriel 𝐀 est égal à moins un multiplié par 𝐵 indice 𝑦 multiplié par 𝐴 indice 𝑥 moins 𝐵 indice 𝑥 multiplié par 𝐴 indice 𝑦 à nouveau multiplié par le vecteur unitaire 𝐤 suivant la direction 𝑧.

Regardons notre premier terme entre parenthèses 𝐵 indice 𝑦 multiplié par 𝐴 indice 𝑥. Rappelons que lorsque nous multiplions deux nombres, l’ordre de ces deux nombres dans la multiplication n’a pas d’importance. Ainsi, ce terme équivaut à 𝐴 indice 𝑥 multiplié par 𝐵 indice 𝑦. Alors, réécrivons-le. Et de même, pour notre deuxième terme entre parenthèses, 𝐵 indice 𝑥 multiplié par 𝐴 indice 𝑦, nous pouvons réécrire ceci comme 𝐴 indice 𝑦 multiplié par 𝐵 indice 𝑥.

Ensuite, si nous comparons notre expression pour 𝐁 vectoriel 𝐀 avec notre définition de 𝐀 vectoriel 𝐁, nous voyons que ces termes entre parenthèses sont exactement les mêmes dans chaque cas. Et la seule différence est que dans notre 𝐁 vectoriel 𝐀, nous avons ce facteur de moins un à l’avant. Ce facteur nous donne simplement un signe moins global. On peut donc dire que 𝐁 vectoriel 𝐀 est égal à moins 𝐀 vectoriel 𝐁. Et puisque dans cette question, nous ne sommes intéressés que par la norme du produit vectoriel, peu importe que nous calculions 𝐀 vectoriel 𝐁 ou 𝐁 vectoriel 𝐀 car ils ont tous les deux les mêmes amplitudes. Ils ont juste des signes opposés, donc les vecteurs pointent dans des sens opposés.

Revenons donc à la question et à nos deux vecteurs 𝐚 minuscule et 𝐛 minuscule, et choisissons de calculer le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛. Ce produit vectoriel est donné par la composante 𝑥 de 𝐚, qui est 𝑚, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐛, qui est aussi 𝑚, moins la composante 𝑦 de 𝐚, qui est zéro, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐛, qui est aussi zéro. Et puis tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. Puisque le vecteur unitaire 𝐤 a par définition une valeur de un, alors la norme du produit vectoriel 𝐚 vectoriel 𝐛 est donnée par cette partie de l’expression ici. Nous pouvons écrire ceci comme 𝑚 au carré. Et donc, nous pouvons dire que la norme de 𝐚 vectoriel 𝐛 est égale à 𝑚 au carré.

Donc, à ce stade, nous avons définitivement atteint notre deuxième étape et calculé le produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛. Il ne reste que l’étape trois, qui consiste à utiliser cette norme du produit vectoriel afin de trouver la longueur 𝑚 de chaque vecteur. La question nous dit que la norme du produit vectoriel est de neuf. Ainsi, nous pouvons définir notre norme 𝐚 vectoriel 𝐛 comme égale à 𝑚 au carré égale à neuf.

Maintenant, on nous a demandé de trouver la longueur ou la norme de chacun des vecteurs 𝐚 et 𝐛. Et nous savons que cette longueur est égale à 𝑚. Donc, nous voulons résoudre cette équation ici pour 𝑚. Pour ce faire, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation. La racine carrée de 𝑚 au carré est simplement 𝑚 et la racine carrée de neuf est trois. Donc, nous avons que 𝑚 est égal à trois. Et donc finalement, nous avons réalisé notre troisième étape en utilisant les produits vectoriels pour trouver la longueur 𝑚 de chaque vecteur. Et nous avons notre réponse à la question : la longueur du vecteur 𝐚 et du vecteur 𝐛 est de trois.