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Vidéo de question : Déterminer l’union de deux produits cartésiens d’ensembles donnés Mathématiques

On pose 𝑋 = {8}, 𝑌 = {8, 3} et 𝑍 = {9, 4, 5}. Déterminez (𝑋 × 𝑌) ∪ (𝑌 × 𝑍).

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Transcription de vidéo

Si l’ensemble 𝑋 est égal à huit, 𝑌 est égal à huit, trois et 𝑍 est égal à neuf, quatre, cinq, déterminez l’union des produits cartésiens de 𝑋 et 𝑌 et 𝑌 et 𝑍.

Donc, pour résoudre ce problème, nous devons d’abord déterminer les produits de 𝑋 et 𝑌 et 𝑌 et 𝑍, puis trouver leur union. Alors, on va commencer par 𝑋 multiplié par 𝑌, ou le produit de 𝑋 et 𝑌. Bon, pour trouver le produit cartésien, on multiplie 𝑋 et 𝑌, il faut écrire un ensemble de paires ordonnées avec les coordonnées 𝑋, 𝑌 qui viennent de 𝑋 comme étant un élément de 𝑋, et 𝑌 un élément de 𝑌.

Donc, comme vous pouvez le voir, on a écrit cette définition et on a utilisé quelques notations d’ensemble. On a ce grand symbole ∈. Il signifie être un élément de. Donc, ce que cela signifie en termes réels est que nous allons prendre des valeurs à partir de 𝑋 et 𝑌 et créer des paires ordonnées de coordonnées à partir d’elles. Donc, nous allons avoir un ensemble de coordonnées dont les valeurs 𝑋 vont être huit et les valeurs 𝑌 vont être trois ou huit. Donc, le produit cartésien de 𝑋 et 𝑌 va être huit, trois et huit, huit car ce sont que les seules paires possibles de produits. Parce que nous avons huit de l’ensemble 𝑋 avec trois de l’ensemble 𝑌, puis huit de l’ensemble 𝑋 avec huit de l’ensemble 𝑌.

Alors maintenant, nous allons passer à 𝑌 et 𝑍, donc 𝑌 multiplié par 𝑍. Donc, avec le produit cartésien de 𝑌 et 𝑍, nous allons avoir les coordonnées 𝑌, 𝑍, où 𝑌 va être soit trois ou huit et z va être soit quatre, cinq ou neuf. Donc, notre ensemble de résultats possibles va être trois, quatre; trois, cinq; trois, neuf; huit, quatre; huit, cinq; et huit, neuf. Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est trouver l’union entre ces deux ensembles. L’union est symbolisé par cette forme que nous avons vue ici comme une notation d’un U. Et l’union de deux ensembles signifie une valeur qui est un élément de A ou B. Donc, un élément du premier ensemble ou un élément du deuxième ensemble.

Et si nous le considérons comme un diagramme de Venn, nous pourrions voir que si nous avions les ensembles A et B, si nous voulions l’union de ces deux ensembles, c’est toute valeur dans ces ensembles. Donc, nous pouvons dire que l’union de 𝑋 multiplié par 𝑌 et 𝑌 multiplié par 𝑍 va être toutes les paires ordonnées dans 𝑋 multiplié par 𝑌 ou 𝑌 multiplié par 𝑍. Donc, nous pouvons dire que nous allons inclure toutes les valeurs que nous avons. Donc, pour les paires ordonnées, nous pouvons dire que l’union du produit cartésien de 𝑋 et 𝑌 et du produit cartésien de 𝑌 et 𝑍 va nous donner l’ensemble des coordonnées huit, trois; huit, huit; trois, quatre; trois, cinq; trois, neuf; huit, quatre; huit, cinq; et huit, neuf.

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