Transcription de la vidéo
Les cinq fonctions suivantes peuvent être utilisées pour modéliser cinq ondes lumineuses. (i) 𝑦 est égal à trois sin de deux 𝑥 plus deux 𝜋. (ii) 𝑦 est égal à deux sin de deux 𝑥 moins deux 𝜋. (iii) 𝑦 est égal à sin de deux 𝑥 plus quatre 𝜋. (iv) 𝑦 est égal à 0,4 sin de 𝑥 sur deux plus 𝜋 sur deux. Et (v) 𝑦 est égal à 1,8 sin de deux 𝑥 moins huit 𝜋 sur deux. Laquelle des cinq ondes n’est pas cohérente avec les quatre autres ?
Pour cela, rappelons les conditions pour que deux ondes ou plus soient cohérentes entre elles. Les ondes doivent avoir à la fois la même fréquence et une différence de phase constante. Nous pourrions sans doute déterminer cela en observant les ondes lumineuses modélisées par ces cinq fonctions avec un logiciel graphique. Mais une méthode plus simple consiste à examiner ces cinq fonctions et à les relier à l’expression générale d’une onde sinusoïdale. 𝑦 est égal à 𝐴 sin 𝑘𝑥 plus 𝜙, où 𝐴 est l’amplitude de l’onde ou sa hauteur. 𝑘 est lié à la fréquence, plus 𝑘 est élevé, plus la fréquence de l’onde est élevée. Et la lettre grecque 𝜙 correspond à la différence de phase de l’onde. Nous pouvons utiliser cette expression générale d’une onde sinusoïdale pour déterminer laquelle de ces cinq fonctions modélisent des ondes ayant la même fréquence et une différence de phase constante.
Toute onde qui n’a pas la même fréquence ou une différence de phase constante ne sera pas cohérente avec les quatre autres ondes. Et pour déterminer les propriétés de ces ondes, nous pouvons examiner les variables et l’équation des ondes pour chaque fonction : 𝐴, 𝑘 et 𝜙 qui correspondent à l’amplitude, la fréquence et la différence de phase. Plus particulièrement, 𝐴, représente l’amplitude qui n’affecte pas la cohérence des ondes. Les valeurs de 𝐴, qui sont différentes pour chacune des cinq fonctions, ne jouent donc aucun rôle dans cette question, uniquement les grandeurs 𝑘 en rapport avec la fréquence et 𝜙 la différence de phase sont importantes.
Alors, commençons par 𝑘, dont la valeur est liée à la fréquence, dans ces fonctions, nous voyons que les fonctions (i), (ii), (iii) et (v) ont toutes la même valeur de 𝑘, qui est deux. La seule qui est différente est la fonction (iv), qui possède un 𝑥 sur deux au lieu de deux 𝑥, ce qui signifie que 𝑘 vaut un demi. Il semble donc que l’onde lumineuse modélisée par la fonction (iv) n’a pas la même fréquence que les ondes lumineuses modélisées par les quatre autres fonctions ; elle n’est donc pas cohérente avec les quatre autres ondes.
Mais nous n’avons pas encore terminé. Nous devons encore regarder la différence de phase. La différence de phase 𝜙 correspond au nombre qui est ajouté ou soustrait à l’intérieur des parenthèses de la fonction sinus. Nous voyons que la différence de phase est complètement différente dans chacune des cinq fonctions, ce qui voudrait dire que la différence de phase n’est pas constante entre ces cinq fonctions, ce qui signifie qu’aucunes des ondes décrites par ces fonctions ne serait cohérente entre elles, sans parler des quatre autres.
L’énoncé de la question nous donne pourtant l’impression que nous cherchons une seule onde. Nous savons que l’onde donnée par la fonction (iv) a non seulement une différence de phase non constante, mais aussi une fréquence différente. C’est donc peut-être l’onde la plus incohérente. Mais, ça ne marche pas comme ça. Les ondes sont cohérentes ou incohérentes ; il ne s’agit pas d’une échelle de cohérence. Nous sommes donc un peu bloqués jusqu’à ce que nous nous souvenions de ce qu’est la phase.
Lorsqu’on regarde une onde, la phase peut être exprimée de différentes manières, généralement avec des degrés, des radians ou des fractions de la longueur d’onde totale. Il semble que les phases exprimées dans ces fonctions soient en radians. Alors gardons cette unité. Une onde sinusoïdale classique commence au milieu d’un motif et a une valeur de zéro radian. Le pic du motif correspond à 𝜋 sur deux. Le milieu du motif dans la partie descendante correspond à 𝜋. Le point le plus bas du motif correspond à trois 𝜋 sur deux. Et le point final du motif à deux 𝜋. Ou comme la fin du motif correspond au début d’un nouveau motif, nous pouvons également dire que la valeur est zéro. Et si nous prolongeons l’onde, la valeur serait de deux 𝜋 ou de zéro. Les deux sont corrects. Ce qui est vraiment important pour la valeur de la phase, c’est qu’il faut considérer la même partie du motif. Peu importe de dire 𝜋 sur deux ou cinq 𝜋 sur deux tant que nous savons que nous faisons référence au pic d’une onde.
Dans le cas des fonctions (i), (ii), (iii) et (v), nous voyons que toutes les différences de phase sont divisibles par deux 𝜋, ce qui signifie qu’elles se produisent toutes au début d’un cycle, ce qui signifie qu’elles peuvent toutes être exprimées comme zéro, avec la fonction (v) en particulier, moins huit 𝜋 sur deux, qui est égal à moins quatre 𝜋, qui est divisible par deux et qui est également égal à zéro. Les phases des fonctions (i), (ii), (iii) et (v) se réfèrent toutes à la même partie du motif d’une onde lumineuse, le début ou la fin, ce qui signifie qu’elles ont toutes la même phase, ce qui signifie qu’elles ont une différence de phase constante, qui est différente de la fonction (iv), qui a une différence de phase de 𝜋 sur deux, qui correspond à un pic, donc ni au début ni à la fin d’un motif.
Nous voyons donc que les ondes modélisées par les fonctions (i), (ii), (iii) et (v) sont toutes cohérentes les unes avec les autres car elles ont toutes la même valeur de k, deux, et la même différence de phase, zéro, contrairement à la fonction (iv), qui a une fréquence différente et une différence de phase non constante. Ainsi, la fonction qui modélise une onde qui n’est pas cohérente avec les quatre autres ondes est donc la fonction (iv) 𝑦 est égale à 0,4 sin 𝑥 sur deux plus 𝜋 sur deux.
