Transcription de la vidéo
Sachant que la matrice inverse de 𝐴 est égal à deux, moins cinq, moins huit, moins neuf ; que 𝐴 multiplié par 𝑥, 𝑦 est égal à moins deux, huit, que vaut 𝑦 ?
Dans cette équation matricielle, nous ne connaissons pas la matrice 𝐴 et nous ne connaissons pas les valeurs de 𝑥 et 𝑦, mais on nous a donné 𝐴 inverse. Alors, réfléchissons à la façon dont nous pourrions utiliser l’inverse de 𝐴 pour nous aider. Idéalement, si nous pouvions obtenir 𝑥, 𝑦 directement, nous pourrions être en mesure de calculer 𝑦 à partir de là. En fait, c’est là que l’inverse de 𝐴 va être utile. Si nous commençons par multiplier les deux côtés de l’équation matricielle par 𝐴 moins un, nous nous retrouvons avec 𝐴 moins un multiplié par 𝐴. Vous reconnaîtrez alors un résultat général que nous avons pour les matrices.
L’inverse d’une matrice multipliée par la matrice elle-même nous donne toujours la matrice identité. Ainsi, au lieu de 𝐴 moins un multiplié par 𝐴, nous avons juste 𝐼. Autre résultat général que nous avons pour les matrices, lorsque nous prenons la matrice identité et que nous la multiplions par la matrice 𝐴, nous obtenons simplement la matrice 𝐴. Ainsi, nous pouvons réécrire 𝐼 multiplié par 𝑥, 𝑦 comme juste 𝑥, 𝑦. Ainsi, cela est évidemment un peu plus simple à résoudre. On nous a donné la matrice inverse de 𝐴 inverse dans la question. Alors à partir de là, simplifions le côté droit de cette équation matricielle. Nous pouvons le faire en multipliant la matrice deux, moins cinq, moins huit, moins neuf par la matrice moins deux, huit.
Nous savons que ce produit matriciel doit être possible car la matrice de gauche est une matrice deux par deux et la matrice de droite une matrice deux par un. Puisque ces deux nombres sont identiques, ce produit sera possible et donnera une matrice d’ordre deux par un. Alors, réalisons ce produit matriciel.
Premièrement, nous avons deux multiplié par moins deux, ce qui donne moins quatre. Puis nous ajoutons moins cinq multiplié par huit. Cela nous donne moins 40. En bas, nous avons moins huit multiplié par moins deux. Cela nous donne 16. Puis, nous ajoutons moins neuf multiplié par huit. Cela nous donne moins 72. Enfin, simplifions les deux entrées de cette matrice. Cela nous donne la matrice moins 44, moins 56. La question initiale nous demandait la valeur de 𝑦. Nous pouvons donc voir que 𝑦 est égal àmoins 56. Voilà donc notre réponse, 𝑦 est égal à moins 56.
