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Vidéo de question : Calcul du travail effectué par un vecteur force étant donné un vecteur position en fonction du temps Mathématiques

Une force 𝐅 = (-4𝐢 - 9𝐣) N agit sur une particule dont le vecteur position en fonction du temps est donné par 𝐫 (𝑡) = ((-9𝑡 - 8) 𝐢 + (−3𝑡² + 2) 𝐣) m. Calculez le travail 𝑤 effectué par la force 𝐅 entre 𝑡 = 3 et 𝑡 = 8 secondes.

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Transcription de vidéo

Une force 𝐅 égale à moins quatre 𝐢 moins neuf 𝐣 newtons agit sur une particule dont le vecteur de position en fonction du temps est donné par 𝐫 de 𝑡 est égal à moins neuf 𝑡 moins huit 𝐢 plus moins trois 𝑡 au carré plus deux 𝐣 mètres. Calculez le travail 𝑤 effectué par la force 𝐅 entre 𝑡 égale trois et 𝑡 égale huit secondes.

Dans cette question, on nous demande de trouver le travail effectué par une force. Celui-ci est égal au produit scalaire du vecteur force 𝐅 par le vecteur déplacement 𝐝. On nous dit que la force agissant sur la particule est égale à moins quatre 𝐢 moins neuf 𝐣 newtons. On nous donne également le vecteur position en fonction du temps et on doit calculer le travail effectué entre 𝑡 égale trois et 𝑡 égale huit secondes. Lorsque 𝑡 est égal à trois, le vecteur de position 𝐫 de 𝑡 est égal à moins neuf multiplié par trois moins huit 𝐢 plus moins trois multiplié par trois au carré plus deux 𝐣. Cela se simplifie en moins 35𝐢 moins 25𝐣.

Lorsque 𝑡 est égal à huit secondes, le vecteur position de la particule est moins neuf multiplié par huit moins huit 𝐢 plus moins trois multiplié par huit au carré plus deux 𝐣. Cela équivaut à moins 80𝐢 moins 190𝐣. On peut ensuite calculer le déplacement sur cette période. On soustrait le vecteur position en 𝑡 égal à trois du vecteur position en 𝑡 égal à huit. En ajoutant les composantes 𝐢 et 𝐣 nous donne moins 45𝐢 moins 165𝐣.

On a maintenant le vecteur force en newtons et le vecteur déplacement en mètres. Comme déjà mentionné, le travail effectué est le produit scalaire entre eux. Et cela équivaut à la somme des produits de chaque composante. On a moins quatre multiplié par moins 45 plus moins neuf multiplié par moins 165. Cela équivaut à 180 plus 1485, ce qui correspond à 1665. Comme on travaille en unités standard, le travail effectué par la force 𝐅 entre 𝑡 égale trois et 𝑡 égale huit secondes est 1665 joules.

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