Transcription de la vidéo
Une échelle uniforme de poids 140 newtons et une longueur de sept mètres est au repos avec une extrémité 𝐴 sur un plan horizontal lisse et son autre extrémité 𝐵 sur un mur vertical lisse. L’échelle est maintenue en équilibre en attachant son extrémité 𝐴 à une corde fixée à la jonction du mur et du plan verticalement en dessous de 𝐵. L’échelle est inclinée par rapport à l’horizontale selon un angle de 45 degrés. Si un homme dont la masse est de 85 kilogrammes monte l’échelle jusqu’à 4,9 mètres de l’extrémité 𝐴, trouvez la tension de la corde arrondie au centième près. Utilisez la valeur 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde carrée pour l’accélération de la pesanteur.
Avant de procéder à des calculs ici, commençons par dessiner un schéma. Rappelons-nous, c’est une esquisse très simple du scénario montrant toutes les forces qui agissent. Voici notre échelle inclinée à l’horizontale d’un angle de 45 degrés. L’échelle est uniforme et pèse 140 newtons. Cela signifie que la force de poids agit exactement au milieu de l’échelle. Puisque l’échelle mesure sept mètres, la force du poids agit à 3,5 mètres de chaque extrémité. On nous dit ensuite que l’échelle est maintenue au repos en fixant l’extrémité 𝐴 à une corde. Et donc on ajoute une force de tension agissant vers la droite. Elle maintient l’échelle au repos.
Ensuite, la troisième loi de Newton du mouvement nous dit que puisque l’échelle exerce une force sur le plan horizontal et aussi sur le mur, il y a des forces de réaction normales du plan et du mur sur l’échelle. On va les appeler 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵. Observe qu’il n’y a pas de forces de frottement impliquées ici. Et c’est parce qu’on nous dit que le plan horizontal et le mur sont lisses. Il y a une dernière force dont on doit tenir compte. Un homme dont la masse est de 85 kilogrammes se tient sur l’échelle à 4,9 mètres de la base 𝐴. La force vers le bas de son poids selon la deuxième loi de Newton est la masse multipliée par la pesanteur ; c’est 85𝑔. Et on a décrit toutes les forces qui agissent sur notre système. On cherche à trouver la valeur de la tension dans la corde. Faisons un peu d’espace pour effectuer des calculs.
Alors, on nous a dit que le système est en équilibre. Et donc il y a deux choses qu’on doit considérer. Premièrement, pour qu’un corps rigide soit en équilibre, la somme de toutes les forces agissant sur le corps doit être égale à zéro. On y pense souvent en termes de forces verticales et horizontales. De même, la somme de tous les moments qui agissent sur le corps doit également être égale à zéro. On a des moments dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et dans le sens des aiguilles d’une montre. On calcule le moment d’une force en multipliant la force par la distance perpendiculaire au point d’action de la force au point autour duquel le corps peut tourner. Et on commence par la condition que la somme des forces doit être égale à zéro.
On peut étudier les conditions d’équilibre dans les directions horizontale et à verticale, mais en fait, on veut trouver la valeur de 𝑇. Et on ne s’intéresse pas à 𝑅 indice 𝐴. Donc, on va seulement étudier l’équilibre dans la direction horizontale. On va prendre le sens vers la droite, le sens dans lequel la force de tension agit, comme étant positif. Et donc la somme des forces agissant dans cette direction est 𝑇 moins 𝑅 indice 𝐵. On a dit que la somme de ces forces est zéro. Donc, notre première équation est 𝑇 moins 𝑅 indice 𝐵 est égal à zéro, c’est-à-dire 𝑇 est égal à 𝑅 indice 𝐵. Après avoir traité les forces dans la direction horizontale, on va calculer les moments des forces autour d’un point.
Eh bien, on peut calculer les moments autour de n’importe quel point, mais il y a beaucoup plus de forces agissant sur le point 𝐴 que sur le point 𝐵. On va donc calculer les moments par rapport au point 𝐴 en prenant le sens antihoraire comme positif. Il y a trois forces qui nous intéressent. Ce sont la force de 140 newtons, la force de 85𝑔 et 𝑅 indice 𝐵. Mais rappelons-nous, les moments sont calculés en multipliant la force par la distance perpendiculaire à la ligne d’action de cette force au point autour duquel le corps peut tourner. Et donc on doit calculer chacune des composantes de ces forces pour trouver laquelle agit perpendiculairement à l’échelle.
On va dessiner un triangle rectangle à chacune de ces forces, avec un angle inclus de 45 degrés. Et on veut trouver les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ce sont les composantes de ces forces qui agissent perpendiculairement à l’échelle. Commençons par 𝑥. C’est la composante du poids de l’échelle. On a l’hypoténuse de ce triangle, et on essaie de trouver le coté adjacent. On va donc utiliser le rapport cosinus. Lorsqu’on l’utilise, on voit que cosinus de 45 est 𝑥 sur 140, et donc 𝑥 est égal à 140 fois cosinus de 45 degrés. Alors puisque le cos de 45 est racine de deux sur deux, cela devient 140 fois racine de deux sur deux, ce qui donne 70 fois racine de deux. Et donc la composante du poids de l’échelle qui agit perpendiculairement à l’échelle est de 70 fois racine de deux newtons.
Cette force fait tourner l’échelle dans le sens des aiguilles d’une montre, et son moment est donc négatif. C’est la force multipliée par la distance, qui est 70 fois racine de deux fois 3,5. Et donc le moment est moins 70 fois racine de deux fois 3,5. On fait pareil pour trouver la valeur de 𝑦. Encore une fois, on utilise le rapport cosinus. Mais cette fois, notre équation est cosinus de 45 est égale à 𝑦 sur 85𝑔. Et donc 𝑦 est égale à 85 𝑔 fois cos 45. Ensuite l’on substitue 𝑔 par 9,8. Et on obtient que cela est égal à 416,5 fois racine de deux. De même, cette force fait l’échelle tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, et son moment est négatif. Elle agit sur un point situé à 4,9 mètres de 𝐴, et son moment est donc moins 416,5 fois racine de deux fois 4,9.
Il y a encore un moment qui nous intéresse. Et pour le trouver, on doit calculer la composante de 𝑅 indice B qui agit perpendiculairement à l’échelle. Cette fois, on va utiliser le rapport sinus. On sait que l’hypoténuse de ce triangle ici est 𝑅 indice 𝐵. Et on veut trouver le côté opposé. Alors sinus de 45 est 𝑧 sur 𝑅 indice 𝐵, ce qui signifie que 𝑧 est 𝑅 indice 𝐵 fois sinus de 45 degrés. Ensuite, rappelons-nous que 𝑇 est égal à 𝑅 indice 𝐵. Et on sait bien que sinus de 45 est racine de deux sur deux, donc on peut écrire 𝑅 indice 𝐵 fois sin 45 est égale à racine deux sur deux 𝑇. Le moment cette fois-ci est positif, puisque cette force agit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et donc on obtient la racine de deux sur deux 𝑇 fois sept puisque c’est bien la longueur de l’échelle.
On sait que la somme de ces moments est égale à zéro. Donc on simplifie cette expression, puis on la fait égale à zéro. On obtient moins 2285,85 fois la racine de deux plus 3,5 fois racine de deux 𝑇 est égal à zéro. On veut résoudre pour 𝑇, mais avant de le faire, on va diviser par la racine de deux. On ajoute ensuite 2285,85 aux deux côtés, et la dernière chose à faire c’est diviser par 3,5. Cela donne 653,1 ou, avec deux décimales près, 653,10. Et donc on obtient que la tension est de 653,10 newtons.
