Transcription de la vidéo
Évaluez le rapport huit parmi cinq, quatre parmi deux.
Pour nous aider à déterminer ce rapport, nous avons une forme générale. Donc, si nous avons 𝑛 parmi 𝑟, cela est égal à 𝑛 factorielle sur 𝑟 factorielle multiplié par 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Et pour nous rappeler ce que signifie réellement factorielle, eh bien, factorielle signifie le produit de tous les entiers positifs inférieurs à 𝑛.
Par exemple, nous avons cinq factorielle. Et cela équivaut à cinq fois quatre fois trois fois deux fois un. D’accord, super ! Alors maintenant, nous avons notre formule et nous savons aussi ce que signifie factorielle, allons déterminer notre rapport. Donc, je vais commencer par le membre gauche, qui est huit parmi cinq.
Et cela va être égal à huit factorielle, parce que c’est comme notre 𝑛, sur cinq factorielle, notre 𝑟, multiplié par huit moins cinq factorielle, ce qui va nous donner huit factorielle sur cinq factorielle multiplié par trois factorielle. C’est à ce stade que nous pouvons envisager de simplifier, car en fait, nous pouvons nous dire : « D’accord, quel est huit factorielle divisé par cinq factorielle ? »
Eh bien, si nous y réfléchissons, huit factorielle est huit multiplié par sept multiplié par six multiplié par cinq multiplié par quatre, etc. Et cinq factorielle est cinq multiplié par quatre multiplié par trois, etc. Donc, si nous allons réellement diviser le numérateur par le dénominateur, donc huit factorielle sur cinq factorielle, alors ce qui nous reste au numérateur est huit multiplié par sept multiplié par six multiplié par un.
Et c’est parce que si nous avons cinq multiplié par quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un divisé par cinq factorielle, eh bien en fait, ils sont équivalents, donc ce serait en fait un. Et cela signifie que nous allons annuler les valeurs de notre dénominateur.
D’accord, super ! Alors maintenant, nous avons cela. Nous pouvons en fait le remplacer dans notre équation. Donc, cela va être égal à huit multiplié par sept multiplié par six pour les raisons que nous avons évoquées, puis le tout divisé par – et j’ai développé trois factorielle – alors nous avons donc trois multiplié par deux multiplié par un. Nous pouvons donc maintenant simplifier cela.
Nous pouvons donc annuler certaines valeurs car nous avons six divisé par trois, ce qui correspond à deux, donc nous l’avons sur notre numérateur. Et puis huit divisé par deux nous donne quatre. Donc, il nous reste quatre multiplié par sept multiplié par deux sur un, ce qui est juste 56. D’accord, super ! Nous avons maintenant trouvé huit parmi cinq. Passons à quatre parmi deux, le membre droit de notre rapport.
Donc, pour quatre parmi deux, nous avons quatre factorielle sur deux factorielle multiplié par quatre moins deux factorielle, ce qui nous donnera quatre factorielle sur deux factorielle multiplié par deux factorielle, ce qui nous donnerait quatre fois trois sur deux factorielle. Et la raison pour laquelle nous avons obtenu cela est comme nous l’avons fait pour le membre gauche du rapport.
C’est parce qu’en fait nous avons divisé quelques factorielles. Voyons comment nous avons fait cela. Nous avons quatre multiplié par trois multiplié par deux multiplié par un, car c’est quatre factorielle, sur deux multipliée par un fois deux multiplié par un parce que nous avons deux deux factorielles au dénominateur. Nous pouvons donc annuler parce que nous avons deux multiplié par un à notre numérateur.
Et donc si nous divisons cela par deux factorielle, qui est deux multiplié par un, nous pouvons en fait l’annuler. Nous avons donc un au numérateur et au dénominateur. Donc, il ne nous reste plus que quatre multiplié par trois sur deux multiplié par un. Nous obtenons donc 12 sur deux multiplié par un, donc 12 sur deux. Donc quatre parmi deux est égal à six.
D’accord, super ! Alors passons maintenant à la dernière étape de notre question. Donc, si nous avons le rapport huit parmi cinq, quatre parmi deux, alors nous allons avoir le rapport 56 sur six. Et nous pouvons en fait simplifier un peu plus pour obtenir le rapport 28 sur trois. Par conséquent, nous sommes arrivés à notre réponse finale et pouvons dire que le rapport huit parmi cinq, quatre parmi deux est égal à 28 sur trois.
