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Vidéo de question : Calcul de la dérivée première d’une fonction définie par des équations paramétriques Mathématiques

Sachant que 𝑥 = 3𝑡³ + 1 et 𝑦 = 5𝑡² − 𝑡, déterminez 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑥 égale trois 𝑡 au cube plus un et 𝑦 égale cinq 𝑡 au carré moins 𝑡, déterminez 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

Eh bien, ici, nous avons un système d’équations paramétriques. Et en fait, pour trouver 𝑑𝑦/𝑑𝑥, nous n’avons pas besoin de le réécrire sous forme cartésienne. On peut utiliser la formule de la dérivation en chaîne. D’après cette formule, 𝑑𝑦/𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡, parce qu’ici 𝑡 est l’autre variable, multiplié par 𝑑𝑡/𝑑𝑥. Et c’est utile car ça nous permet de dériver séparément chacune des équations paramétriques, puis de les combiner pour trouver 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

Alors allons-y et faisons comme ça. Donc, tout d’abord, commençons par 𝑦 égale cinq 𝑡 au carré moins 𝑡. Donc, pour calculer 𝑑𝑦/𝑑𝑡, je vais la dériver. Le premier terme est simplement 10𝑡. On obtient ça parce que c’est deux multiplié par cinq, c’est l’exposant multiplié par le coefficient, ce qui donne 10. Et c’est 𝑡 puissance deux moins un. C’est parce qu’on retranche un de l’exposant lorsqu’on le dérive.

Et la dérivée du deuxième terme est moins un. Très bien ! On a 10𝑡 moins un. Alors maintenant, passons à la deuxième partie. Mais pour la deuxième partie, comme on recherche 𝑑𝑡/𝑑𝑥, on va devoir le faire d’une manière légèrement différente. Ça consiste à calculer 𝑑𝑥/𝑑𝑡 puis à prendre l’inverse, ce qui donnera 𝑑𝑡/𝑑𝑥.

Alors allons-y. On a donc 𝑥 égale trois 𝑡 au cube plus un. Donc on obtient 𝑑𝑥/𝑑𝑡 égale 9𝑡 au carré. Encore une fois, on l’a obtenu en prenant trois multiplié par trois parce que c’est l’exposant multiplié par le coefficient. Et c’est 𝑡 puissance trois moins un. Parce qu’on retranche un en dérivant.

On a donc 9𝑡 au carré. Et la dérivée de plus un est simplement zéro. Très bien ! On a 9𝑡 au carré pour 𝑑𝑥/𝑑𝑡. Alors on a donc 𝑑𝑡/𝑑𝑥 égale un sur 9𝑡 au carré. En effet, comme on l’a déjà dit, on prend l’inverse de 9𝑡 au carré.

Très bien ! On a 𝑑𝑦/𝑑𝑡 et 𝑑𝑡/𝑑𝑥. Utilisons la formule de la dérivée en chaîne pour trouver 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Donc, en utilisant cette formule, on obtient que 𝑑𝑦/𝑑𝑥 est égal à 10𝑡 moins un multiplié par un sur 9𝑡 au carré. On en déduit que 𝑑𝑦/𝑑𝑥 est égal à 10𝑡 moins un sur 9𝑡 au carré, sachant que 𝑥 égale trois 𝑡 au cube plus un et 𝑦 égale cinq 𝑡 au carré moins 𝑡.

Et voilà notre réponse. Je souhaite faire un bref récapitulatif de ce qu’on a fait. Tout d’abord, on voit qu’on a des équations paramétriques. On utilise la formule de dérivation en chaîne pour trouver 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Puis on dérive les deux équations paramétriques. Ce qui donne ici 𝑑𝑦/𝑑𝑡 et 𝑑𝑥/𝑑𝑡. Puis, en se rappelant qu’il nous faut en fait l’inverse de 𝑑𝑥/𝑑𝑡 pour trouver 𝑑𝑡/𝑑𝑥, et enfin on applique la formule pour obtenir la réponse finale.

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