Transcription de la vidéo
Une classe se compose de 27 garçons et 29 filles. De combien de façons pouvez-vous former une équipe de quatre personnes à partir de la classe de sorte que chaque membre de l'équipe soit du même sexe ?
Nous devrons savoir de combien de façons nous pouvons obtenir un groupe de quatre garçons, et nous ajouterons cette valeur au nombre de façons dont nous aurons un groupe de quatre filles. Dans une équipe de quatre personnes, l’ordre n’a pas d’importance, ce qui signifie que c’est une combinaison.
La formule pour cela est une combinaison de 𝑛 objets, où nous choisissons 𝑟 parmi eux, est égale à 𝑛 factorielle sur 𝑟 factorielle fois 𝑛 moins 𝑟 factorielle. La combinaison des garçons est de 27 garçons, où nous choisissons quatre, quatre factorielle fois 27 moins quatre factorielle. 27 moins quatre égale 23.
Nous devons suivre la même démarche pour les filles. Nous recherchons la combinaison de 29 filles, en prenant quatre à chaque fois. Ce sera 29 factorielle sur quatre factorielle fois 29 moins quatre factorielle. 29 moins quatre est 25.
Si nous écrivons nos équations, nous pouvons commencer à les simplifier. Rappelez-vous ce que signifie « factorielle ». 27 factorielle égale 27 fois 26 fois 25 fois 24, ainsi de suite jusqu’à un. On pourrait aussi dire que 27 factorielle égale 27 fois 26 fois 25 fois 24 fois 23 factorielle.
La raison pour laquelle nous l’écrivons ainsi est de remarquer que quelque chose dans le numérateur et le dénominateur s’annule. Il y a une factorielle de 23 dans le numérateur et le dénominateur. Après ceux qui s’annulent, nous nous retrouvons avec 27 fois 26 fois 25 fois 24 sur quatre factorielle, qui peut être réécrit comme quatre fois trois fois deux fois un.
Nous allons simplifier davantage. 24 divisé par deux est égal à 12, 27 divisé par trois est égal à neuf, et 12 divisé par quatre est égal à trois. Pour trouver les combinaisons, nous devrons multiplier neuf fois 26 fois 25 fois trois. Cela équivaut à 17550.
Maintenant, nous voulons simplifier la combinaison des filles. Nous allons prendre notre 29 factorielle et la réécrire comme 29 fois 28 fois 27 fois 26 fois 25 factorielle. Puis la factorielle 25 au numérateur et au dénominateur s’annule. Nous devons développer la factorielle quatre : quatre fois trois fois deux fois un.
Nous pouvons alors simplifier. 28 divisé par quatre est égal à sept, 27 divisé par trois est égal à neuf et 26 divisé par deux est égal à 13. Pour trouver la combinaison de filles, multipliez 29 fois sept fois neuf fois 13, ce qui équivaut à 23751.
Pour trouver le total des façons de sélectionner une équipe de quatre personnes dans la classe, nous devons additionner les équipes de garçons et les équipes de filles. En les additionnant ensemble, nous obtenons 41301. Il y a 41301 façons de sélectionner une équipe de quatre personnes dans la classe de telle sorte que tous les membres de l’équipe soient du même sexe.
