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Vidéo de question : Déterminer la distance entre deux points en utilisant la formule de la distance Mathématiques

Calculez la distance entre les points 𝐴 et 𝐵.

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Transcription de vidéo

Calculez la distance entre les points 𝐴 et 𝐵.

On peut résoudre ce problème de plusieurs façons. Une des méthodes consiste à utiliser la formule de la distance. Pour deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, la distance entre eux est égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. On peut donc poser 𝐴 égale 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 égale 𝑥 deux, 𝑦 deux. Ce sont des points. Et on peut déterminer leurs coordonnées directement sur le repère. 𝐴 a une abscisse de moins trois et une ordonnée de quatre. Donc 𝐴 est le point moins trois, quatre. Et 𝐵 a une abscisse de zéro et une ordonnée de trois. Donc 𝐵 est le point zéro, moins trois.

Commençons par remplacer les coordonnées de A, 𝑥 un, 𝑦 un. On a 𝑥 un égale moins trois. Et 𝑦 un égale quatre. Faisons maintenant la même chose pour 𝐵. 𝑥 deux égale zéro. Et 𝑦 deux égale moins trois. Donc on remplace 𝑥 deux par zéro et 𝑦 deux par moins trois. Et on peut à présent calculer cette expression. I faut pour cela commencer par les parenthèses les plus à l’intérieur, et il y en a deux. Pour zéro moins moins trois, deux moins donnent un plus, donc c’est en fait zéro plus trois. On a donc trois au carré. On a ensuite moins trois moins quatre. Ce qui fait moins sept. On peut alors mettre ces nombres au carré. Trois au carré égale neuf. Et moins sept au carré égale 49. Lorsque l’on met un nombre au carré, il devient positif qu’il soit positif ou négatif. Neuf plus 49 égale 58. Par conséquent, la distance entre les points 𝐴 et 𝐵 est égale à racine carrée de 58 unités de longueur. Notre réponse finale est donc racine carrée de 58 unités de longueur.

Maintenant, nous aurions également pu résoudre ce problème en utilisant des triangles. Si on peut créer un triangle rectangle en utilisant 𝐴 et 𝐵, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur inconnue, la distance entre A et B. On pourrait donc calculer cette distance entre 𝐴 et 𝐵, appelons-la 𝑥, s’il s’agissait d’une longueur de côté d’un triangle rectangle. Cette longueur pourrait être un côté. Et cette longueur pourrait être un côté. Et on connaît ces longueurs grâce au repère. Cette longueur, la plus courte, est égale à trois. Et la longueur, la plus longue, est égale à quatre plus trois. Soit sept. L’angle droit se trouve ici parce que les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires.

Voici donc notre triangle. Le théorème de Pythagore stipule alors que le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des côtés les plus courts. Le côté le plus long est toujours l’opposé à l’angle de 90 degrés. On l’appelle l’hypoténuse. Donc 𝑥 sera le côté le plus long. Et les deux autres seront les côtés les plus courts. Remplaçons donc leurs longueurs. On obtient 𝑥 au carré égale trois au carré plus sept au carré. Trois au carré égale neuf. Et sept au carré égale 49. Maintenant, en additionnant neuf et 49, on trouve que 𝑥 au carré est égal à 58. On prend la racine carrée des deux membres. Et on obtient 𝑥 égale racine carrée de 58, comme précédemment.

Par conséquent, la distance entre les points 𝐴 et 𝐵 est égale à racine carrée de 58 unités de longueur.

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