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Vidéo de question : Déterminer la puissance d’un point compte tenu du rayon et de la distance entre le point et le centre du cercle Mathématiques

On considère un cercle de centre 𝑀 et de rayon 𝑟 = 21. Calculez la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle sachant que 𝐴𝑀 = 25.

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Transcription de vidéo

On considère un cercle de centre 𝑀 et de rayon 𝑟 égale 21. Calculez la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle sachant que 𝐴𝑀 est égal à 25.

Dans ce problème, nous cherchons à trouver la puissance du point 𝐴. Ainsi, pour déterminer cela, nous allons utiliser le théorème de la puissance d’un point. La première chose que nous allons faire est d’examiner le théorème de la puissance d’un point et de voir comment nous pouvons l’appliquer pour résoudre notre problème. Alors, pour comprendre le théorème de la puissance d’un point, nous dessinons une figure.

Dans notre figure, nous avons 𝐴, qui est notre point. Puis nous avons 𝑀, qui est le centre de notre cercle. Nous indiquons également 𝑟. Puis, nous dessinons également deux points. Nous notons l’un 𝐵 et l’autre 𝐶, ceux-ci sont sur la circonférence de notre cercle. Le théorème de la puissance d’un point dit que la puissance d’un point est égale à 𝐴𝐵 multiplié par 𝐴𝐶. Il s’agit donc de la distance de notre point au bord du cercle multipliée par la distance de notre point à l’autre bord du cercle, donc à l’opposé du diamètre, soit 𝐶.

Alors, regardons quelles informations nous sont données dans la question. Tout d’abord, nous savons que le rayon est égal à 21. Nous pouvons donc dire que 𝐵𝑀 est égal à 21 mais aussi 𝑀𝐶 est égal à 21. Nous savons aussi que 𝐴𝑀 est égal à 25. Très bien ! Nous avons donc déterminé ces trois valeurs. Alors maintenant, regardons comment nous pouvons utiliser notre théorème de la puissance d’un point pour trouver la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle. Tout d’abord, nous voulons savoir ce que 𝐴𝐵 vaut, nous mettons ce segment en rose.

Bien, si nous regardons notre figure, nous pouvons voir que 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝑀 moins notre rayon, c’est-à-dire moins 𝐵𝑀. Ainsi, 𝐴𝐵 est égal à 25 moins 21. Nous avons donc 𝐴𝐵 est égal à quatre. Nous avons donc déterminé 𝐴𝐵. Nous devons maintenant déterminer 𝐴𝐶. Bien, si nous regardons le segment 𝐴𝐶, il est égal à 𝐴𝑀 plus 𝑀𝐶. Ainsi, cela donne 𝐴𝑀 plus notre rayon. Nous avons donc 𝐴𝐶 est égal à 25 plus 21. Nous avons 𝐴𝐶 est égal à 46.

Très bien ! Nous avons maintenant les deux éléments dont nous avons besoin. Nous pouvons donc les utiliser pour déterminer la puissance de notre point. Nous pouvons dire que la puissance du point 𝐴 est égale à quatre multiplié par 46. Ainsi, la puissance de notre point est égale à 184. Nous avons pu calculer cela rapidement parce que quatre multiplié par 40 égale 160. Quatre multiplié par six égale 24. Additionner cela donne 184.

Ainsi, comme nous l’avons dit, cela nous donne notre réponse finale, qui est que la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle est de 184.

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