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Vidéo de la leçon : Calculer des probabilités à l’aide de diagrammes de Venn Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les diagrammes de Venn pour organiser des informations et calculer des probabilités.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les diagrammes de Venn pour organiser des informations et calculer des probabilités. Les diagrammes de Venn sont constitués de deux cercles ou plus qui peuvent parfois se chevaucher. Ils sont couramment utilisés dans les problèmes d’ensembles et de probabilités. Nous allons commencer par regarder à quoi ressemble un diagramme de Venn et présenter quelques-unes des notations utilisées.

Comme mentionné, les diagrammes de Venn contiennent généralement deux cercles ou plus. Dans la majorité des cas, les cercles se chevauchent. Les deux cercles représentent deux événements, que l’on appelle ici 𝐴 et 𝐵. Chaque section du diagramme de Venn contient un nombre. Il peut parfois être une fraction ou un nombre décimal. Dans un exemple comme celui-ci où les nombres sont des entiers, le nombre total d’éléments de l’univers est égal à la somme des entiers. Pour calculer le total, on doit additionner trois, un, neuf et sept. Cela donne 20, donc la majorité des questions de probabilité de ce diagramme seront basées sur 20 éléments.

Voyons maintenant certaines des notations utilisées dans les exemples qui vont suivre. 𝑃 de 𝐴, où 𝐴 est entre parenthèses, est la probabilité que l’événement 𝐴 se produise. Cela signifie que l’on cherche toutes les valeurs qui sont à l’intérieur du cercle 𝐴. Comme trois plus un égale quatre, la probabilité de l’événement 𝐴 est de quatre sur 20. Cela peut être simplifié par un sur 5 ou par le nombre décimal 0,2. On va pour l’instant la laisser à quatre sur 20.

𝑃 de 𝐵 est la probabilité que l’événement 𝐵 se produise. Elle est égale à la somme de toutes les valeurs contenues dans le cercle 𝐵. Un plus neuf égale 10. Donc la probabilité que l’événement 𝐵 se produise est de 10 sur 20. À nouveau, cela peut se simplifier par un demi ou 0,5.

La probabilité de 𝐴 barre, parfois également appelé 𝐴 prime, est la probabilité que l’événement 𝐴 ne se produise pas. Pour la calculer, on doit d’abord déterminer la somme de tous les nombres en dehors du cercle 𝐴. Ces nombres sont neuf et sept. Neuf plus sept égale 16. Par conséquent, la probabilité de 𝐴 barre ou que 𝐴 ne se produise pas est de 16 sur 20.

On remarque ici que la somme de la probabilité de 𝐴 et de la probabilité que 𝐴 ne se produise pas est égale à un. Quatre sur 20 plus 16 sur 20 égale 20 sur 20, soit un. Cela donne la formule: la probabilité de 𝐴 barre, 𝐴 ne se produisant pas, est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Connaître cette formule permet de gagner du temps dans certains calculs.

La prochaine notation que nous allons voir est celle de l’intersection. Elle est désignée par un U à l’envers. Dans le diagramme de Venn, il s’agit de la probabilité que l’événement 𝐴 et l’événement 𝐵 se produisent. On doit trouver la partie du diagramme qui est dans le cercle 𝐴 et dans le cercle 𝐵. Comme le suggère le mot « intersection », il s’agit de la zone de chevauchement des deux cercles. Comme le nombre dans cette section est un, la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux est de un sur 20.

Nous allons ensuite examiner la réunion. Elle est désignée par un U. Dans le diagramme de Venn, il s’agit de la probabilité que l’événement 𝐴 ou l’événement 𝐵 se produise. Par conséquent, on recherche tous les nombres du cercle 𝐴 et du cercle 𝐵. On doit calculer la somme de trois, un et neuf. Elle est égale à 13. La probabilité de 𝐴 ou 𝐵, ou 𝐴 union 𝐵, est de 13 sur 20.

Une erreur courante consiste à additionner la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵, quatre sur 20 et 10 sur 20. Cela donnerait 14 sur 20, ce qui est incorrect. On a en effet compté le un de l’intersection deux fois. Cela nous amène à une autre formule clé. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Dans cette question, 13 sur 20 égale quatre sur 20 plus 10 sur 20 moins un sur 20.

Les trois prochaines formules sont moins couramment utilisées mais sont tout de même utiles lorsque l’on travaille sur des diagrammes de Venn. On considère d’abord la probabilité de 𝐴 inter non 𝐵. Cela signifie que l’on souhaite que l’événement 𝐴 se produise mais pas l’événement 𝐵. Il y a un total de quatre à l’intérieur du cercle . Le nombre un, cependant, est également dans le cercle 𝐵. Cela signifie que la seule valeur qui est dans le cercle 𝐴 et pas dans le cercle 𝐵 est trois. La probabilité de 𝐴 et non 𝐵 est de trois sur 20. On pourrait également la calculer en utilisant la formule: probabilité de 𝐴 moins probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Quatre sur 20 moins un sur 20 égale trois sur 20.

On cherche ensuite la probabilité de non et non 𝐵. On recherche toutes les valeurs qui ne sont pas dans le cercle 𝐴 et pas dans le cercle 𝐵. Il n’y a qu’un seul nombre vérifiant cela, le sept qui se trouve en dehors des deux cercles. La probabilité de non 𝐴 et non 𝐵, ou non 𝐴 inter non 𝐵, est de sept sur 20. On remarque ici qu’elle est égale à un moins la réunion; elle représente tout sauf la réunion de 𝐴 et 𝐵. Un moins 13 sur 20 égale sept sur 20.

La dernière notation est la notation conditionnelle, la probabilité de 𝐴 sachant que se produit. Elle peut se calculer avec une formule, mais on commence par observer le diagramme de Venn et le cercle 𝐵. À l’intérieur du cercle 𝐵, on a un total de 10. Et il est indiqué que se produit. On souhaite calculer la probabilité de 𝐴 sachant que l’on est dans ce cercle. La seule partie qui est dans le cercle 𝐴 et 𝐵 est l’intersection, avec le nombre un. La probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est donc de un sur 10. Parmi les 10 éléments du cercle 𝐵, un d’entre eux est également dans le cercle 𝐴.

On peut également la calculer en utilisant la formule: probabilité de 𝐴 inter 𝐵 divisée par probabilité de 𝐵. Dans ce cas, on doit diviser un sur 20 par 10 sur 20. Cela est égal à la bonne réponse: un sur dix ou un dixième. Un avantage de ne pas avoir simplifié les fractions originales est que l’on peut annuler les dénominateurs 20 dans ce cas.

Nous allons maintenant voir plusieurs applications de ces formules et des diagrammes de Venn pour résoudre des problèmes impliquant des probabilités.

La figure ci-dessous montre un diagramme de Venn avec les probabilités des événements 𝐴 et 𝐵. Calculez la probabilité de 𝐴. Calculez la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Calculez la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

On rappelle que dans tout diagramme de Venn, la somme des probabilités doit être égale à un. 0,3 plus 0,2 plus 0,4 plus 0,1 égale un. La première partie de la question demande de calculer la probabilité de 𝐴. Elle est égale à la somme de toutes les probabilités à l’intérieur du cercle 𝐴. On doit additionner 0,3 et 0,2. Cela est égal à 0,5. La probabilité que l’événement 𝐴 se produise est de 0,5.

La deuxième partie de la question demande la probabilité de 𝐴 et 𝐵. On l’appelle l’intersection de et . Il s’agit de la partie du diagramme de Venn où A et 𝐵 se produisent tous les deux. La probabilité de la zone de chevauchement des deux cercles est de 0,2. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est 0,2.

La dernière partie de la question demande de calculer la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 se produit. La notation dans cette question signifie « sachant que ». On rappelle que la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵 inter 𝐴 divisée par la probabilité de 𝐴. On a déjà calculé ces deux valeurs. Il est important de noter que la probabilité de 𝐵 inter 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. La probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est donc égale à 0,2 divisé par 0,5. Cela est égal à deux cinquièmes ou 0,4. La probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est 0,4.

On aurait également pu le résoudre à partir du diagramme de Venn. Comme on recherche la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 se produit, on commence par le 0,5 à l’intérieur du cercle 𝐴. Laquelle de ces probabilités se trouve également dans le cercle 𝐵? Il s’agit du 0,2. Donc, on a à nouveau 0,2 sur ou divisé par 0,5. Les trois réponses à cette question sont par conséquent 0,5, 0,2 et 0,4. Le 0,1 qui se trouve à l’extérieur des deux cercles est la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produise.

Nous allons maintenant étudier un autre problème impliquant des diagrammes de Venn avec un exemple plus spécifique.

Isabella a dessiné ce diagramme de Venn pour enregistrer les résultats de la sélection aléatoire d’un nombre compris entre un et 12. Quelle est la probabilité de sélectionner un nombre diviseur de 20? Quelle est la probabilité de sélectionner un nombre qui est un diviseur de 20 et un multiple de trois? Quelle est la probabilité de sélectionner un nombre qui n’est pas un multiple de trois?

On remarque que le diagramme de Venn est composé de deux cercles, le premier est les nombres qui sont des diviseurs de 20. On appelle cet événement 𝐴. On a ensuite le cercle qui contient tous les multiples de trois. On appelle cet événement 𝐵. Les nombres sept, huit et 11 qui sont en dehors des deux cercles sont les nombres entre un et 12 qui ne sont ni des diviseurs de 20 ni des multiples de trois.

La première partie de la question demande de calculer la probabilité de sélectionner un nombre diviseur de 20. Il s’agit de la probabilité que l’événement 𝐴 se produise. On remarque que les nombres un, deux, quatre, cinq et 10 sont tous des diviseurs de 20. Cela signifie que cinq des 12 nombres compris entre un et 12 sont des diviseurs de 20. La probabilité de sélectionner un nombre diviseur de 20 est donc égale à cinq douzièmes ou cinq sur 12. Comme cinq et 12 n’ont pas de diviseur commun à part un, cette fraction est irréductible.

La deuxième partie de la question demande de calculer la probabilité de sélectionner un nombre qui est un diviseur de 20 et un multiple de trois. Il s’agit de la probabilité que l’événement 𝐴 et l’événement 𝐵 se produisent, notée probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Il n’y a pas de nombres dans l’intersection des deux cercles. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 ou de 𝐴 et 𝐵 est égale à zéro sur 12, soit zéro. La probabilité de sélectionner un nombre qui est un diviseur de 20 et un multiple de trois est nulle. En effet, aucun nombre compris entre un et 12 ne remplit les deux critères.

Cela nous amène à une notion importante lorsque nous travaillons sur des probabilités. Si l’intersection de deux événements est vide, alors les deux événements sont dits incompatibles. Dans ce cas, on pourrait en fait dessiner les deux cercles séparément car il n’y a pas besoin d’intersection. Aucune valeur n’est un diviseur de 20 et un multiple de trois.

La dernière partie de la question demande de calculer la probabilité de sélectionner un nombre qui n’est pas un multiple de trois. Elle peut être notée comme la probabilité de 𝐵 barre ou 𝐵 prime. La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à un moins la probabilité que cet événement se produise. On sait que quatre nombres sont des multiples de trois: trois, six, neuf et 12. Cela signifie que huit des nombres compris entre un et 12 ne sont pas des multiples de trois. Ce sont les nombres un, deux, quatre, cinq et 10, qui sont des diviseurs de 20, et les nombres sept, huit et 11, qui ne sont ni des diviseurs de 20 ni des multiples de trois.

La probabilité de sélectionner un nombre qui n’est pas un multiple de trois est de huit sur 12 ou de huit douzièmes. Ces deux nombres ont un diviseur commun de quatre, on peut donc diviser le numérateur et le dénominateur par 4. La fraction huit douzièmes se simplifie par deux tiers. Cela signifie que la probabilité de sélectionner un nombre qui n’est pas un multiple de trois sous sa forme irréductible est de deux tiers.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons découvert dans cette vidéo que les diagrammes de Venn sont constitués de deux cercles ou plus qui se chevauchent parfois. Si deux cercles ne se chevauchent pas, les deux événements sont dits incompatibles. Cela se produit lorsque la probabilité de A et B, c’est-à-dire de l’intersection de et , est nulle. Voici certaines formules clés qui nous aident à résoudre des problèmes impliquant des diagrammes de Venn. Elles incluent la réunion, l’intersection et la probabilité conditionnelle. Elles peuvent toutes être démontrées en observant les valeurs ou les probabilités dans un diagramme de Venn.

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