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Vidéo de question : Déterminer le produit d’un nombre complexe et de son conjugué Mathématiques

Déterminez le conjugué de 1 + 𝑖 et le produit de ce nombre avec son conjugué complexe.

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Transcription de vidéo

Déterminez le conjugué du nombre complexe un plus 𝑖 et le produit de ce nombre avec son conjugué complexe.

Il y a deux parties dans cette question. Premièrement, on nous demande de trouver le conjugué de ce nombre complexe un plus 𝑖. Bien, nous pouvons nous rappeler que le conjugué d’un nombre complexe est le nombre complexe que nous obtenons lorsque nous changeons le signe de sa partie imaginaire. Ainsi, sous forme générale, le conjugué du nombre complexe 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖 est le nombre complexe 𝑧 étoile, qui est égal à 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous avons changé le signe de la partie complexe. Ce n’est plus plus 𝑏. Nous avons maintenant moins 𝑏.

Ainsi, si nous posons 𝑧 notre nombre complexe, un plus 𝑖, alors pour trouver son conjugué 𝑧 étoile, nous changeons simplement le signe de la partie imaginaire. Nous avions plus 𝑖, soit plus un 𝑖. Nous le changeons en moins 𝑖 ou moins un 𝑖. Le conjugué de un plus 𝑖 est donc un moins 𝑖. La deuxième partie de cette question nous demande de trouver ce produit. C’est-à-dire notre nombre complexe initial fois son conjugué. Nous cherchons donc le produit de 𝑧 et 𝑧 étoile. Puisque nous venons de déterminer que le conjugué est un moins 𝑖, nous cherchons donc le produit de un plus 𝑖 par un moins 𝑖.

Nous pouvons aller de l’avant et développer les parenthèses. Un multiplié par un donne un. Puis, un multiplié par moins 𝑖 donne moins 𝑖. Le nombre 𝑖 multiplié par un donne plus 𝑖. Puis, 𝑖 multiplié par moins 𝑖 donne moins 𝑖 au carré. Nous avons donc un moins 𝑖 plus 𝑖 moins 𝑖 au carré. Bien sûr, au centre de notre expression, moins 𝑖 plus 𝑖 se simplifie en zéro. Ces deux termes s’annulent. Il nous reste un moins 𝑖 au carré. Nous devons rappeler ici que 𝑖 au carré est égal à moins un. Nous avons donc un moins moins un ou un plus un, ce qui est égal à deux. Nous avons donc déterminé que le produit de notre nombre complexe avec son conjugué est deux.

En fait, il y a un résultat général que nous aurions pu utiliser ici, à savoir que, pour le nombre complexe 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖, le produit de 𝑧 avec son conjugué 𝑎 moins 𝑏𝑖 sera toujours égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous pouvons voir que c’est en effet le cas pour notre nombre complexe un plus 𝑖. Les parties réelles et imaginaires sont égales à un. Un au carré plus un au carré est égal à un plus un, ce qui est égal à deux.

Pour voir pourquoi cela est le cas, il suffit de distribuer les parenthèses dans le produit 𝑎 plus 𝑏𝑖 multiplié par 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous voyons que, dans le cas général, tout comme dans notre exemple particulier, les parties imaginaires de cette expression s’annulent, laissant 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré 𝑖 carré. Cela est égal à 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré multiplié par moins un, soit 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous avons donc résolu le problème.

Le conjugué de un plus 𝑖 est un moins 𝑖. Le produit de un plus 𝑖 avec son conjugué est deux.

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