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Vidéo de question : Résoudre des problèmes impliquant des séquences géométriques Mathématiques

Une ville compte une population de 844501 habitants; ce nombre augmente chaque année selon un taux constant égal à 12%. Estimez la population après 8 années, à l’unité près.

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Transcription de vidéo

Une ville compte une population de 844501 habitants; ce nombre augmente chaque année selon un taux constant de 12 pour cent. Estimez la population après huit années, à l’unité près.

La première chose à regarder est le fait que l’augmentation se fait à un taux constant. Nous savons que la population augmente à un rythme constant. Ce taux est de 12 pour cent par an. Bien, nous pouvons considérer cette question de deux façons, les deux nous donnant la même équation et le même résultat. La première façon est de la considérer comme une suite géométrique. Bien, comme il s’agit d’une suite géométrique, et nous savons cela car elle augmente à un rythme constant, alors nous avons une forme générale pour cela. Cette forme est 𝑎 indice 𝑛, c’est-à-dire le terme de rang 𝑛, est égal à 𝑎 indice un, notre premier terme, multiplié par 𝑟, la raison, à la puissance 𝑛 moins un, où 𝑛 est le rang du terme.

Bien, notre premier terme est 844501 parce qu’il s’agit de notre première valeur. Notre 𝑟 est 1,12. Comment l’avons-nous obtenu ? Bien, nous cherchons à augmenter à un taux constant de 12 pour cent par an. Si nous voulons augmenter de 12 pour cent chaque année, alors nous avons 100 pour cent, pour garder le nombre que nous avions, plus 12 pour cent, soit 112 pour cent du nombre que nous avions au début de l’année précédente. Puisque pourcentage signifie sur 100, alors 112 pour cent est égal à 112 sur 100, ce qui est égal à 1,12, qui est notre raison. Très bien !

Nous savons aussi que 𝑛 est égal à huit parce que nous recherchons la population après huit ans. Bien, maintenant nous pouvons utiliser cela pour résoudre le problème. Nous pouvons alors substituer cela dans notre forme générale. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons le huitième terme, ou la population après huit ans, égale 844501 multiplié par 1,12 à la puissance huit moins un. Cela va être égal à 844501 multiplié par 1,12 à la puissance sept. Bien, cela va donner le résultat 1866922,65 etc.

Cependant, nous voulons ce résultat à l’entier le plus proche. Nous allons donc arrondir. Puisque la première décimale est un six, qui est supérieur ou égal à cinq, nous allons arrondir le dernier chiffre, c’est-à-dire l’unité, de deux à trois. Nous avons donc constaté que la population après huit ans est de 1866923. Ceci est l’entier le plus proche.

Nous avons mentionné qu’il y a une autre façon de considérer cette question. L’autre façon est de considérer l’intérêt composé. En tant que question d’intérêt composé, nous avons une formule. Cette formule est 𝐴, le nombre que nous recherchons, égale 𝑃, notre nombre initial ou principal, multiplié par... Puis, nous avons un plus 𝑟, où 𝑟 est le taux d’intérêt sous forme décimale. Puis, cela est élevé à la puissance 𝑡, qui est le nombre de périodes.

Bien, si nous regardons notre question, notre 𝑃, donc notre nombre initial, est 844501. Notre 𝑟, qui est notre taux d’intérêt sous forme décimale, va être 0,12. Cela parce que 12 pour cent signifie 12 sur 100 ou 12 divisé par 100. Notre 𝑡 va être égal à sept parce qu’il y a sept périodes jusqu’à la huitième année, qui est ce que nous recherchons. Si nous réfléchissons à la façon dont cela fonctionne, si nous considérons la première année où nous nous trouvons, il s’agit de l’année numéro un. Nous pouvons alors constater que nous avons sept périodes d’intérêt, car nous les obtenons chaque année, jusqu’à la huitième année.

Très bien. Nous avons donc nos valeurs. Nous pouvons alors les substituer dans la formule. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons que notre population après huit ans va être égale à 844501 multiplié par un plus 0,12 à la puissance sept. Bien, à partir de là, nous pouvons voir que nous arrivons exactement à la même formule que nous avons obtenue lorsque nous avons utilisé la méthode des suites géométriques. Soit 844501 multiplié par 1,12 à la puissance sept. Nous allons donc arriver au même résultat. Nous pouvons confirmer que la population après huit ans est de 1866923 à l’entier le plus proche.

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