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Calculez l’aire d’un triangle équilatéral de côté trois centimètres, en donnant le résultat exacte.
Commençons par dessiner le triangle équilatéral dans cette question. Puisque le triangle est équilatéral, ses trois côtés ont la même longueur. On nous dit dans la question que cette longueur est de trois centimètres. On nous demande de trouver l’aire de ce triangle, ce que nous pouvons généralement faire en utilisant la formule suivante : l’aire est égale à la base multipliée par la hauteur sur deux. On ne nous donne pas la hauteur perpendiculaire de ce triangle. Bien qu’il soit possible de la trouver, considérons une méthode alternative pour trouver l’aire d’un triangle.
Nous rappelons que la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle 𝐴𝐵𝐶, dans laquelle les lettres majuscules 𝐴, 𝐵 et 𝐶 représentent les sommets du triangle et les lettres minuscules 𝑎, 𝑏 et 𝑐 représentent les trois longueurs des côtés opposés, dit que l’aire est égale à un demi 𝑎𝑏 sin 𝐶. Ici, 𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés quelconques du triangle et 𝐶 majuscule représente la mesure de leur angle inclus. Il s’agit de l’angle entre les deux côtés dont nous connaissons les longueurs. Nous n’avons pas besoin d’être trop préoccupés par les lettres 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous pouvons utiliser deux longueurs de côté dans le triangle et la mesure de leur angle inclus.
En revenant à ce problème, dans lequel nous avons un triangle équilatéral, nous connaissons les longueurs des trois côtés. Ils sont chacun trois centimètres. On ne nous a pas donné les mesures des angles. En fait, puisque ce triangle est équilatéral, les mesures des trois angles sont les mêmes. Ils sont chacun de mesure un tiers de 180 degrés, ce qui donne 60 degrés.
Peu importe les deux côtés que nous utilisons. Pour cet exercice, supposons que nous utilisons les deux côtés marqués en orange et leur angle inclus de 60 degrés. En substituant trois pour les valeurs de 𝑎 et 𝑏 et 60 degrés pour la valeur de l’angle 𝐶, nous avons que l’aire de ce triangle est un demi multiplié par trois multiplié par trois multiplié par sinus de 60 degrés. Soit neuf sur deux multiplié par sinus de 60 degrés.
Maintenant, la question nous demande de donner notre réponse sous une forme exacte. Ainsi, à ce stade, nous devons rappeler que 60 degrés est l’un des angles spéciaux pour lesquels les sinus, cosinus et tangente peuvent être exprimés exactement en termes de fractions. Sinus de 60 degrés est exactement égal à la racine carrée de trois sur deux. Ainsi, nous pouvons substituer cette valeur au sinus de 60 degrés pour donner une réponse exacte. Nous avons neuf sur deux multiplié par racine trois sur deux, ce qui se simplifie en neuf racine de trois sur quatre. De manière équivalente, nous pouvons écrire ceci comme neuf sur quatre multiplié par racine de trois, les unités de cette aire seront en centimètres carrés.
Ainsi, en rappelant la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle, nous avons constaté que l’aire d’un triangle équilatéral de longueur latérale de trois centimètres sous forme exacte est de neuf sur quatre racine de trois centimètres carrés.
