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Vidéo de question : Déterminer l’équations paramétrique’ d’une droite passant par l’origine et le centre d’une sphère, compte tenu des extrémités d’une diagonale de la sphère Mathématiques

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique de la droite passant par l’origine et le centre d’une sphère où 𝐴 (6, 5, 7) et 𝐵 (2, 1, 3) sont les extrémités d’un des diamètres de la sphère ? [A] 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 2𝑡 [B] 𝑥 = 4𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 5𝑡 [C] 𝑥 = 6𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 5𝑡 [D] 𝑥 = 6𝑡, 𝑦 = 3 - 3𝑡, 𝑧 = 5𝑡 [E] 𝑥 = 4𝑡, 𝑦 = 3 - 3𝑡, 𝑧 = 2𝑡.

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Transcription de vidéo

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique de la droite passant par l’origine et le centre d’une sphère où 𝐴 six, cinq, sept et 𝐵 deux, un, trois sont les extrémités d’un des diamètres de la sphère ? Est-ce (A), 𝑥 est égal à deux 𝑡, 𝑦 est égal à trois 𝑡 et 𝑧 est égal à deux 𝑡 ? Est-ce (B), 𝑥 est quatre 𝑡, 𝑦 est trois 𝑡 et 𝑧 est cinq 𝑡 ? Est-ce (C), 𝑥 est six 𝑡, 𝑦 est trois 𝑡 et 𝑧 est cinq 𝑡 ? Est-ce (D), 𝑥 est six 𝑡, 𝑦 est trois moins trois 𝑡 et 𝑧 est cinq 𝑡 ? Est-ce (E), 𝑥 est égal à quatre 𝑡, 𝑦 est égal à trois moins trois 𝑡 et 𝑧 est égal à deux 𝑡 ?

Commençons par réaliser un schéma en utilisant les informations qui nous ont été données. On nous dit que les extrémités d’un des diamètres de la sphère sont les points 𝐴 et 𝐵 de coordonnées six, cinq, sept et deux, un, trois, respectivement. Nous voulons trouver l’équation paramétrique d’une droite qui passe par l’origine de notre repère, soit le point de coordonnées zéro, zéro, zéro et le centre de la sphère. Nous pouvons utiliser les deux extrémités du diamètre, 𝐴 et 𝐵, pour trouver les coordonnées du centre de la sphère. Nous aurons ensuite les coordonnées de deux points sur notre droite, c’est-à-dire le centre de la sphère et l’origine du repère, que nous pouvons utiliser pour trouver les équations paramétriques de la droite.

Nous avons donc notre sphère et, puisque le centre d’une sphère est le point médian de tout diamètre, nous pouvons utiliser la formule du point milieu comme indiqué. Elle nous indique que le milieu d’un segment entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux a pour coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux et 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux. Ainsi, si nous posons le point 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le point 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, le milieu du segment joignant 𝐴 et 𝐵 a pour coordonnées six plus deux sur deux, cinq plus un sur deux et sept plus trois sur deux, soit huit sur deux, six sur deux, 10 sur deux. Cela nous donne les coordonnées du centre de notre sphère 𝐶 comme étant quatre, trois, cinq.

Maintenant, nous avons deux points sur la droite qui nous intéresse. Le centre de la sphère de coordonnées quatre, trois, cinq et l’origine de coordonnées zéro, zéro, zéro. Faisons un peu d’espace pour pouvoir nous concentrer sur notre droite, nous rappelons que l’équation paramétrique d’une droite dans l’espace est donnée par 𝑥 est égal à 𝑥 zéro plus 𝑡𝑎, 𝑦 est 𝑦 zéro plus 𝑡𝑏 et 𝑧 est 𝑧 zéro plus 𝑡𝑐 avec un paramètre réel 𝑡 et la droite a pour vecteur directeur le vecteur 𝐝 est égal à 𝑎 multiplié par le vecteur unitaire 𝐢 plus 𝑏 multiplié par le vecteur unitaire 𝐣 plus 𝑐 multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. La droite passe par le point de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro.

Nous connaissons deux points sur la droite. Il s’agit du centre de la sphère de coordonnées quatre, trois, cinq et l’origine de coordonnées zéro, zéro, zéro. Si nous choisissons l’origine comme étant le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro par lequel passe la droite, notre équation paramétrique est 𝑥 est égal à zéro plus 𝑡𝑎, soit 𝑥 zéro plus 𝑡𝑎, 𝑦 est égal à zéro plus 𝑡𝑏 et 𝑧 est égal à zéro plus 𝑡𝑐. Rappelez-vous, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coefficients du vecteur directeur. Nous les appelons aussi les rapports directeurs.

Maintenant, nous savons aussi que si une droite passe par deux points 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, alors un vecteur directeur de la droite est donné par 𝐝 est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 une fois le vecteur unitaire 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un fois le vecteur unitaire 𝐣 plus 𝑧 deux moins 𝑧 un multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. Les rapports directeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont donc respectivement 𝑥 deux moins 𝑥 un, 𝑦 deux moins 𝑦 un et 𝑧 deux moins 𝑧 un.

En prenant les deux points zéro, zéro, zéro et quatre, trois, cinq de sorte que zéro, zéro, zéro correspond maintenant à 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et quatre, trois, cinq correspond à 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, nous avons 𝑎 est égal à quatre moins zéro, 𝑏 est trois moins zéro et 𝑐 est cinq moins zéro. Autrement dit, 𝑎 vaut quatre, 𝑏 vaut trois et 𝑐 est égal à cinq. Notre vecteur directeur est donc 𝐝 est égal à quatre multiplié par 𝐢 plus trois 𝐣 plus cinq 𝐤. Maintenant, en substituant ces valeurs à 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans notre équation paramétrique, nous avons 𝑥 est égal à quatre 𝑡, 𝑦 vaut trois 𝑡 et 𝑧 vaut cinq 𝑡. Chaque valeur réelle du paramètre 𝑡 donne un point unique sur la droite.

L’équation paramétrique de la droite passant par l’origine et le centre d’une sphère dont les points 𝐴 six, cinq, sept et 𝐵 deux, un, trois sont des points d’extrémité d’un des diamètres est donc 𝑥 est égal à quatre 𝑡, 𝑦 est trois 𝑡 et 𝑧 est cinq 𝑡. Cela correspond à l’option (B).

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