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Vidéo de question : Calcul de la pression initiale d’un gaz en cours d’un refroidissement Physique

On laisse 10 m³ d’hélium gazeux refroidir d’une température de 400 K à une température de 290 K. L’hélium est maintenu à un volume constant. Si la pression finale du gaz est de 1200 Pa, quelle était sa pression avant le refroidissement ? Donnez votre réponse au Pascal le plus proche.

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Transcription de vidéo

On laisse 10 mètres cubes d’hélium gazeux refroidir d’une température de 400 degrés kelvins à une température de 290 degrés kelvins. L’hélium est maintenu à un volume constant. Si la pression finale du gaz est de 1200 pascals, quelle était sa pression avant le refroidissement ? Donnez votre réponse au Pascal le plus proche.

Cette question nous interroge sur un gaz qui est refroidi à volume constant. On pourrait imaginer cela comme un gaz à l’intérieur d’une boîte comme celle-ci, où le volume de cette boîte reste fixe. Rappelons qu’un gaz est composé de particules qui sont libres de se déplacer. Dans notre schéma, nous avons dessiné certaines de ces particules en rose. Et les flèches orange montrent leurs vecteurs vitesse individuels à un instant donné.

Maintenant, toutes ces particules volent toutes dans des sens différents. Cela signifie qu’elles peuvent entrer en collision les unes avec les autres. Et surtout, elles peuvent également entrer en collision avec les parois de la boîte. Quand une particule entre en collision avec l’une des parois, comme nous pouvons le voir ici, alors que le volume de la boîte est fixé et que les parois ne peuvent pas bouger, la particule doit simplement rebondir sur la paroi, changeant de sens et exerçant une force sur la paroi avec une composante extérieure. Plus la particule se déplace rapidement, plus grande est la force qu’elle exercera sur la paroi lorsqu’elle entre en collision avec elle.

Dans notre schéma ici, nous venons de dessiner quelques particules pour donner une idée de ce qui se passe. En réalité, cependant, il y aura beaucoup plus de particules que cela qui volent et entrent en collision avec toutes les parois du récipient. Chacune de ces collisions exerce une force sur la paroi avec une composante extérieure. Une force agissant sur toute la surface des parois signifie qu’une pression est exercée sur les parois du récipient. Puisqu’une particule en mouvement plus rapide exerce une plus grande force lorsqu’elle entre en collision avec une paroi, plus la vitesse moyenne des particules dans le gaz est grande, plus la pression que le gaz exercera sur les parois du récipient sera grande.

Rappelons que la vitesse moyenne des particules dans un gaz indique la température de ce gaz. Plus la température est élevée, plus la vitesse moyenne est grande. On peut donc dire, pour un gaz maintenu à un volume constant, qu’une température plus élevée signifie une pression plus grande. Cette relation peut être exprimée mathématiquement par la loi de Gay-Lussac. Cela signifie que la pression, 𝑝, est directement proportionnelle à la température, 𝑇. Il est important de garder à l’esprit que cette loi s’applique uniquement lorsqu’un gaz est maintenu à un volume constant.

Nous savons que dans ce cas, le volume est en effet maintenu constant pendant que l’hélium est refroidi. Cela signifie que la loi de Gay-Lussac s’applique à cette situation. Maintenant, nous pourrions également choisir d’écrire la loi en disant que la pression 𝑝 est égale à une constante multipliée par la température 𝑇. Si nous divisons ensuite les deux côtés de cette équation par 𝑇, nous pouvons annuler les facteurs 𝑇 du numérateur et du dénominateur de droite, ce qui nous laisse avec une équation qui dit que 𝑝 divisé par 𝑇 est égal à une constante. Cela signifie que pour un gaz maintenu à un volume constant, la pression de ce gaz divisée par sa température aura toujours la même valeur. Ceci est la clé pour répondre à cette question.

On nous dit qu’au départ l’hélium a une température de 400 kelvins. Nous allons l’appeler 𝑇 un. Appelons également 𝑝 un la pression du gaz à cette température initiale. C’est la valeur que la question nous demande de trouver. On nous dit que l’hélium est ensuite refroidi à une température de 290 kelvins. Nous appelons 𝑇 deux cette température finale. À cette température, le gaz a une pression de 1200 pascals. Nous appelons 𝑝 deux cette pression finale.

Maintenant, grâce à la loi de Gay-Lussac, nous savons que la pression divisée par la température aura la même valeur à tout moment. Cela signifie que nous savons que la pression initiale, 𝑝 un, divisée par la température initiale, 𝑇 un, doit être égale à la pression finale, 𝑝 deux, divisée par la température finale, 𝑇 deux.

Puisque la grandeur que nous voulons calculer est la pression 𝑝 un, nous allons devoir réorganiser cette équation pour faire de 𝑝 un le sujet. Pour ce faire, nous pouvons multiplier les deux côtés par 𝑇 un. Les termes 𝑇 un s’annulent alors du numérateur et du dénominateur de gauche. Et nous avons que 𝑝 un est égal à 𝑝 deux multiplié par 𝑇 un divisé par 𝑇 deux. Puisque nous connaissons les valeurs des trois grandeurs à droite de cette expression, nous pouvons les remplacer.

Nous trouvons que la pression 𝑝 un est égale à 1200 pascals multipliés par 400 kelvins divisé par 290 kelvins. Les kelvins s’annulent du numérateur et du dénominateur, laissant des pascals. Ensuite, en calculant cette expression, nous obtenons un résultat pour 𝑝 un de 1 655,172 etcetera pascals

Remarquons cependant que la question demande notre réponse au pascal le plus proche. En arrondissant notre résultat au pascal le plus proche, nous constatons que la pression 𝑝 un est égale à 1655 pascals. Notre réponse finale est donc que, au pascal le plus proche, la pression initiale de l’hélium gazeux est de 1655 pascals.

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