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Vidéo de question : Évaluer les factorielles pour déterminer les valeurs d’inconnues puis évaluer leurs valeurs dans un arrangement Mathématiques

Si (𝑛 + 1)! / (𝑛 - 1)! = 72, trouvez 𝑛 𝑃₅ + 𝑛 𝑃₆ + 𝑛 𝑃₇.

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Transcription de vidéo

Si la factorielle de 𝑛 plus un sur la factorielle de 𝑛 moins est égal à 72, trouvez 𝑛 𝑃 cinq plus 𝑛 𝑃 six plus 𝑛 𝑃 sept.

Nous essayons de trouver 𝑛 𝑃 cinq plus 𝑛 𝑃 six plus 𝑛 𝑃 sept. Pour ce faire, nous devons d’abord déterminer à quoi est égal 𝑛. Pour cela, nous pouvons utiliser notre équation à savoir factorielle de 𝑛 plus un sur factorielle de 𝑛 moins un. Si nous savons que la factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 fois la factorielle de 𝑛 moins un, nous pouvons l’utiliser pour réécrire notre numérateur. On pourrait dire que la factorielle de 𝑛 plus un est égale à 𝑛 plus un fois la factorielle de 𝑛 plus un moins un. 𝑛 plus un moins un est égal à 𝑛 plus zéro. On peut donc dire que la factorielle de 𝑛 plus un est égale à 𝑛 plus un fois la factorielle de 𝑛. Cependant, cela ne nous aide pas réellement à simplifier ce qui nous a été donné. Nous voulons donc essayer de développer cette factorielle de 𝑛. Nous pouvons le faire en disant que la factorielle de 𝑛 est égale à 𝑛 fois la factorielle de 𝑛 moins un.

Nous pouvons simplifier par la factorielle de 𝑛 moins un que nous retrouvons aussi bien au numérateur qu’au dénominateur. Nous avons maintenant que 𝑛 plus un fois 𝑛 est égal à 72. Nous avons vraiment deux options pour résoudre ceci. Nous pourrions développer nos deux termes et voir que 𝑛 au carré plus 𝑛 égale 72, puis soustraire 72 des deux membres de notre équation, ce qui nous donnerait l’équation du second degré 𝑛 au carré plus 𝑛 moins 72 égale zéro. Ou alors, nous pourrions reconnaître que 𝑛 fois 𝑛 plus un signifie que nous recherchons deux entiers consécutifs dont le produit est égal à 72. Ainsi, nous essayerions simplement de penser à deux facteurs de 72 qui sont des entiers consécutifs l’un par rapport à l’autre.

Nous savons que huit fois neuf est égal à 72 et nous pouvons donc dire aussi que huit fois huit plus un est égal à 72. Cette méthode ne fonctionne pas très bien lorsque nous avons affaire à des nombres beaucoup plus grands. Dans ce cas, il pourrait être utile de savoir comment factoriser. Si nous voulons factoriser 𝑛 au carré plus 𝑛 moins 72, nous avons besoin de deux termes dont le produit est égal à moins 72 et dont la somme est égale à un. Nous obtenons ensuite les termes 𝑛 moins huit et 𝑛 plus neuf, ce qui signifie que 𝑛 pourrait être égal à huit comme il pourrait être égal à moins neuf. Cependant, rappelez-vous que notre valeur 𝑛 va être dans un arrangement. Puisque nous allons utiliser 𝑛 comme un arrangement, nous n’aurons jamais un nombre négatif d’éléments dans un ensemble. Cela signifie que nous pouvons ignorer la solution 𝑛 est égal à moins neuf.

Nous avons donc trouvé la première partie de notre problème : 𝑛 égale huit. Nous savons maintenant que nous devons déterminer huit 𝑃 cinq plus huit 𝑃 six plus huit 𝑃 sept. Nous savons que pour calculer des arrangements comme ceux-ci, nous avons besoin de la factorielle de 𝑛 sur la factorielle de 𝑛 moins 𝑟. Nous avons donc factorielle de huit sur factorielle de huit moins cinq plus factorielle de huit sur factorielle de huit moins six plus factorielle de huit sur factorielle de huit moins sept, que nous pouvons simplifier en factorielle de huit sur factorielle de trois plus factorielle de huit sur factorielle de deux plus factorielle de huit. Pour notre troisième terme, il était égal à factorielle de huit sur factorielle de huit moins sept ce qui est factorielle de un. Ainsi, factorielle de huit sur factorielle de un est égal à factorielle de huit.

A ce stade, il s’agit simplement de simplifier l’expression. Nous pourrions factoriser par factorielle de huit. Ainsi, nous avons factorielle de huit fois un sur factorielle de trois plus un sur factorielle de deux plus un, ce qui est égal à factorielle de huit fois un sixième plus un demi plus un. Si vous les additionnez et simplifiez, vous obtiendrez cinq tiers. Si vous calculez factorielle de huit fois cinq tiers, vous obtenez 67.200.

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