Transcription de vidéo
Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 au carré plus trois racine de 𝑥 moins trois sur 𝑥.
Nous allons commencer par réécrire notre fonction. Mais ce que nous allons faire, c’est en fait remplacer les termes qui ne sont pas des exposants par des exposants de 𝑥. Donc, quand nous faisons cela, nous allons obtenir que 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 au carré plus trois 𝑥 à la puissance un demi - et c’est parce que la racine de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance un demi - moins trois 𝑥 à la puissance moins un, et c’est parce que un sur 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance moins un.
D’accord, super ! Mais comment allons-nous dériver cela? Eh bien, nous allons en fait utiliser la règle du produit. Et nous pouvons utiliser la règle du produit parce que notre fonction est de la forme 𝑦 est égal à 𝑢𝑣, en effet nous avons une fonction multipliée par une autre. Et ce que la règle du produit nous dit, c’est qu’il existe en fait une formule pour calculer la dérivée. Donc pour trouver la dérivée, c'est-à-dire d𝑦 sur d𝑥, on calcule 𝑢 multiplié par d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 multiplié par d𝑢 sur d𝑥.
C’est à dire 𝑢 multiplié par la dérivée de notre 𝑣 plus 𝑣 multiplié par la dérivée de 𝑢. Appliquons donc maintenant cela pour trouver la dérivée de notre fonction. Nous commençons par identifier ce que seront 𝑢 et 𝑣. Ainsi, 𝑢 sera deux 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 moins cinq, et 𝑣 va être 𝑥 au carré plus trois 𝑥 à la puissance un demi moins trois 𝑥 à la puissance moins un.
Maintenant, on va dériver 𝑢 et 𝑣. Donc, d𝑢 sur d𝑥 va être égal à huit 𝑥 au cube plus un pour la dérivée de 𝑢. Et nous obtenons cela en utilisant la règle de dérivation habituelle. Ainsi, par exemple, pour le premier terme. Nous l’avons obtenu en multipliant deux par quatre, notre coefficient multiplié par notre exposant, ce qui nous donne huit. Et puis nous réduisons l’exposant d’une unité, ce qui nous donne notre 𝑥 au cube. D’accord, super ! Passons maintenant à d𝑣 sur d𝑥. Eh bien, pour d𝑣 sur d𝑥, nous allons en fait obtenir deux 𝑥 plus trois sur deux 𝑥 à la puissance moins un demi plus trois 𝑥 à la puissance moins deux.
Nous avons donc obtenu cela en utilisant l’ensemble des règles de dérivation habituelles. Il peut être important de s’attarder sur cela ici. Nous ici trois sur deux. Et nous avons obtenu trois sur deux parce que c’est trois multiplié par un demi, ce qui nous donne trois sur deux ou un et demi. Et nous avons 𝑥 à la puissance moins un demi. Nous avons moins un demi parce que si vous avez un demi moins un, cela nous donne moins un demi. Il faut bien faire attention avec les signes moins. Maintenant, nous pouvons appliquer notre règle du produit pour trouver la dérivée de notre fonction.
Nous avons la dérivée égale deux 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 moins cinq multiplié par deux 𝑥 plus trois sur deux 𝑥 à la puissance moins un demi plus trois 𝑥 à la puissance moins deux. Cela représente notre 𝑢 et notre d𝑣 sur d𝑥. Et puis nous avons 𝑥 au carré plus trois 𝑥 à la puissance un demi moins trois 𝑥 à la puissance moins un 𝑥 multiplié par huit 𝑥 au cube plus un. C’est notre 𝑣 d𝑢 d𝑥.
Maintenant, l’étape suivante consiste à développer nos parenthèses. Donc, nous allons obtenir quatre 𝑥 à la puissance cinq parce que nous avons deux 𝑥 à la puissance quatre multiplié par deux 𝑥. Et puis plus trois 𝑥 à la puissance sept sur deux, et c’est parce que nous avons deux multiplié par trois sur deux. Donc, cela nous donne deux fois un et demi, donc trois. Et puis nous avons 𝑥 à la puissance quatre multiplié par 𝑥 à la puissance moins un demi. Et si nous ajoutons les exposants. Nous allons avoir quatre, ce qui équivaut à huit sur deux, moins un sur deux, ce qui nous donne sept sur deux.
Ensuite, plus six 𝑥 au carré, puis plus deux 𝑥 au carré, puis plus trois sur deux 𝑥 à la puissance un demi. Et nous avons obtenu cela parce nous avons 𝑥 qui est comme 𝑥 à la puissance un, puis vous multipliez 𝑥 à la puissance un par 𝑥 à la puissance moins un demi. Eh bien, un moins un demi nous donne un demi. Et puis enfin pour celui-ci, plus trois 𝑥 à la puissance moins un. D’accord, super ! On en a fini avec les deux premières termes. Passons au dernier terme de nos premières parenthèses. Nous obtenons donc moins 10𝑥 moins 15 sur deux 𝑥 à la puissance moins un demi, puis moins 15𝑥 à la puissance moins deux.
D’accord, super ! On en a fini avec ma première paire de parenthèses. Et on ajoute huit 𝑥 à la puissance cinq plus 𝑥 au carré. Ensuite, cela nous donne 24𝑥 à la puissance sept sur deux plus trois 𝑥 à la puissance un demi. Et nous avons obtenu le 24 𝑥 à la puissance sept sur deux, parce que nous avons trois multiplié par huit, ce qui nous donne 24, puis 𝑥 à la puissance un demi multiplié par 𝑥 à la puissance trois. Donc, vous ajoutez les exposants pour obtenir trois et demi, ce qui équivaut à sept sur deux.
Et puis enfin, nous multiplions le dernier terme. Dans chacune des parenthèses, nous obtenons moins 24𝑥 au carré moins trois 𝑥 à la puissance moins un. Comme vous pouvez le voir, il y a beaucoup de termes. C’est un assez long développement. Donc, soyez très prudent lorsque vous multipliez chaque terme juste pour vous assurer que chaque terme est correctement multiplié. D’accord, alors maintenant, ce qui nous reste à faire c’est simplifier. Et nous allons le faire par étapes.
Donc, tout d’abord, nous allons nous pencher sur le terme 𝑥 à la puissance cinq. Eh bien, nous avons quatre plus huit, ce qui nous donne 12𝑥 à la puissance cinq. Nous allons travailler par ordre décroissant des puissances de 𝑥. Donc, par conséquent, le prochain sera 𝑥 à la puissance sept sur deux. Nous obtenons donc plus 27 𝑥 à la puissance sept sur deux. Nous passons maintenant aux termes 𝑥 au carré. Et nous avons plus six 𝑥 au carré plus deux 𝑥 au carré, ce qui nous donne huit 𝑥 au carré. Ensuite, nous avons un autre 𝑥 au carré, ce qui nous donne neuf 𝑥 carré. Puis, nous soustrayons 24𝑥 au carré, ce qui nous donne moins 15𝑥 au carré.
Et puis notre prochain terme est plus neuf sur deux 𝑥 à la puissance un demi - et c’est parce que nous avions trois sur deux, donc un et demi 𝑥 à la puissance un demi plus trois 𝑥 à la puissance un demi, ce qui nous donne quatre et demi 𝑥 à la puissance un demi, ce qui fait neuf sur deux 𝑥 à la puissance un demi - moins 10𝑥. Et puis nous passons aux puissances négatives. Nous avons donc moins 15 sur deux 𝑥 à la puissance moins un demi. Et si nous regardons, nous avons aussi des termes 𝑥 à la puissance moins un. Cependant, nous avons plus trois 𝑥 à la puissance moins un, moins trois 𝑥 à la puissance moins un, donc ceux-ci s’annulent. Donc, au final, il nous reste moins 15𝑥 à la puissance moins deux.
D’accord, super ! Donc, nous avons maintenant simplifié et ce que nous allons faire maintenant, c’est, en fait, remettre tout cela dans sa forme initiale. Nous allons donc retirer certains les exposants où nous pouvons avoir des racines. Nous pouvons donc dire que la dérivée première de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑥 moins cinq multipliée par 𝑥 au carré plus trois racine de 𝑥 moins trois sur 𝑥 est égale à 12𝑥 à la puissance cinq plus 27𝑥 à la puissance trois multiplié par la racine de 𝑥 moins 15𝑥 au carré plus neuf sur deux racine de 𝑥 moins 10𝑥 plus 15 sur deux racine de 𝑥 moins 15 sur 𝑥 au carré.
