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Etant donnés 𝑧 indice un est égal à deux racine de trois plus deux 𝑖 et 𝑧 indice deux est égal à moins deux moins deux racine de trois 𝑖, trouvez 𝑧 indice un multiplié par 𝑧 indice deux, en donnant votre réponse sous forme exponentielle.
Dans cette question, on nous donne deux nombres complexes sous la forme 𝑥 plus 𝑦𝑖, où 𝑥 est la partie réelle et 𝑦 est la partie imaginaire du nombre complexe. On nous demande de calculer le produit des deux nombres complexes 𝑧 indice un et 𝑧 indice deux. Nous pouvons le faire par double distributivité. La multiplication des premiers termes nous donne moins quatre racine de trois. La multiplication des termes extérieurs nous donne moins 12𝑖. En effet, deux multiplié par moins deux égale moins quatre. Racine de trois multiplié par racine de trois égale trois. Enfin, moins quatre multiplié par trois égale moins 12.
La multiplication des termes intérieurs nous donne moins quatre 𝑖. Enfin, multiplier les derniers termes nous donne moins quatre racine de trois 𝑖 au carré. Nous rappelons qu’avec des nombres complexes, 𝑖 au carré est égal à moins un. Cela signifie que moins quatre racine de trois 𝑖 au carré est égal à plus quatre racine de trois. Nous pouvons maintenant rassembler les termes similaires. Les termes réels s’annulent car moins quatre racine de trois plus quatre racine de trois est égal à zéro. 𝑧 un multiplié par 𝑧 deux est donc égal à moins 16𝑖.
Nous rappelons que tout nombre complexe peut être écrit sous forme exponentielle telle que 𝑧 égale 𝑟 multiplié par 𝑒 puissance 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module du nombre complexe et 𝜃 est son argument. Le module d’un nombre complexe est égal à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré, où 𝑥 et 𝑦 sont respectivement les parties réelle et imaginaire. L’argument 𝜃 est égal à la réciproque de la tangente de 𝑦 sur 𝑥. Puisqu’il n’y a pas de partie réelle dans le nombre complexe moins 16𝑖, alors 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à moins 16. 𝑟 est donc égal à la racine carrée de zéro au carré plus moins 16 au carré. Cela est égal à 16.
𝜃 est égal à la réciproque de la tangente de moins 16 sur zéro. Puisque le dénominateur est égal à zéro, cela est indéfini. Nous recherchons la valeur de 𝜃 pour laquelle tan 𝜃 est indéfinie. Cela se produit en 𝜋 sur deux plus 𝑛𝜋. Afin de déterminer la valeur correcte de 𝜃 pour cette question, nous allons libérer de l’espace et dessiner un diagramme d’Argand.
Le nombre complexe 𝑧 un 𝑧 deux avait une valeur réelle égale à zéro et une valeur imaginaire égale à moins 16. Cela se trouve au point qui sépare le troisième quadrant du quatrième. Nous savons que cela correspond à l’angle trois 𝜋 sur deux. La valeur de l’argument 𝜃 est trois 𝜋 sur deux. Nous pouvons donc conclure que le nombre complexe 𝑧 un 𝑧 deux écrit sous forme exponentielle est égal à 16𝑒 puissance trois 𝜋 sur deux 𝑖.
