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Vidéo de question : Trouver les forces qui s’appliquent sur un carré pour former un couple équivalent Mathématiques

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré où les cinq forces, mesurées en newtons, agissent comme indiqué sur la figure. Si le système de forces est équivalent à un couple, déterminez 𝐹₁ et 𝐹₂.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré sur lequel agissent cinq forces, mesurées en newtons, comme indiqué sur la figure Si le système de forces est équivalent à un couple, déterminez 𝐹 un et 𝐹 deux.

On voit sur la figure qu’il y a cinq forces - une de 20 newtons, une de 13, une de neuf fois la racine carrée de deux, 𝐹 un et 𝐹 deux - agissant sur les sommets du carré. En particulier, les forces s’appliquent à deux des sommets du carré : le sommet 𝐴, où trois des forces s’appliquent, et le sommet 𝐶, où se trouvent les deux autres.

On nous dit que lorsqu’on considère les cinq forces ensemble, elles sont équivalentes à un couple de forces. Et avec cette information, on veut calculer 𝐹 un et 𝐹 deux. Pour commencer le calcul de 𝐹 un et 𝐹 deux, on doit rappeler la définition d’un couple de forces, c’est-à-dire une paire de forces parallèles de même intensité et de sens opposés, et qui ne se trouvent pas sur la même ligne d’action.

Cela signifie que les forces résultantes qui s’appliquent au point 𝐴 et au point 𝐶 doivent être parallèles. En plus elles doivent avoir la même intensité et des sens opposés. Voyons quelles sont ces forces qu’on nous a données.

À chacun de ces deux sommets, on va déterminer les composantes verticale et horizontale de la force résultante appliquée à chacun d’eux. Pour le sommet A, la composante horizontale de cette force a deux contributions. Il y a la force de 13 newtons agissant complètement à l’horizontale. Et il y a la composante horizontale de la force de neuf fois la racine carrée de deux newtons.

Puisque la direction de cette force divise en deux un angle de 90 degrés, on voit que la composante horizontale est égale à la valeur de la force résultante, neuf fois la racine carrée de deux, multipliée par le cosinus de 45 degrés. Et puisque le cos de 45 degrés est égal à la racine carrée de deux sur deux, notre expression se simplifie à 13 newtons plus neuf newtons, c’est-à-dire 22 newtons. C’est la composante horizontale de la force qui agit au point 𝐴.

Lorsqu’on considère la composante verticale de cette force, on voit qu’elle est donnée par la composante verticale de neuf fois la racine carrée de deux, qui est neuf racine de deux fois le sinus de 45 degrés, plus la force inconnue 𝐹 deux.

De même que pour la composante horizontale, on écrit la composante verticale de la force comme neuf fois la racine carrée de deux fois la racine carrée de deux sur deux, ou simplement neuf newtons. Ainsi, la composante verticale de la force résultante agissant à partir du point 𝐴 est de neuf newtons plus 𝐹 deux.

Ensuite, on considère les forces agissant au sommet 𝐶. Lorsqu’on prend la composante verticale de cette force, on voit qu’elle est égale à 20 newtons. Et la composante horizontale est égale à 𝐹 un. Parce que ces deux forces résultantes aux sommets forment un couple de forces, on peut écrire deux équations à partir de nos conclusions jusqu’à présent.

Premièrement, on sait que les composantes horizontales des deux forces, 22 newtons dans un cas et 𝐹 un dans l’autre, sont égales. Autrement dit, 𝐹 un est égal à 22 newtons. Et en outre, les composantes verticales de ces deux forces, neuf newtons plus 𝐹 deux et 20 newtons, sont aussi égales. Cela implique que 𝐹 deux est égale à 20 newtons moins neuf newtons, ce qui donne 11 newtons.

Et ainsi on obtient 𝐹 un et 𝐹 deux, les intensités des forces qui rendent les forces totales de ce schéma équivalentes à un couple de forces.

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