Lesson Video: Applications de polygones semblables Mathématiques • First Year of Secondary School

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Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser les propriétés de polygones semblables pour résoudre des expressions et des équations littérales. Nous commencerons par rappeler quelques définitions et faits sur des polygones semblables.

Des polygones semblables sont deux ou plusieurs polygones ayant la même forme mais pas la même longueur. Ils ont des angles correspondants qui sont superposables et des côtés correspondants qui sont proportionnels. Une façon de considérer cette proportionnalité est de penser aux facteurs d’échelle. Nous pouvons penser à des polygones semblables comme agrandissant ou rétrécissant la même figure. Par exemple, notre petit rectangle a des dimensions de deux centimètres et trois centimètres. Le plus grand rectangle a une longueur de quatre centimètres et une longueur inconnue.

Comme deux multiplié par deux est égal à quatre, le facteur d’échelle ici est de deux. On peut alors calculer la longueur manquante dans le plus grand rectangle en multipliant trois centimètres par deux. Cela est égal à six centimètres. Si deux polygones sont semblables, nous savons que les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. Trouver le facteur d’échelle est simple lorsque l’on nous donne des longueurs correspondantes dans les polygones. Cependant, il est également important de pouvoir résoudre des problèmes où l’on nous demande si les deux polygones sont semblables.

Prenons deux rectangles de six centimètres et huit centimètres et de 15 centimètres et 20 centimètres. Si les deux rectangles sont semblables, le rapport de leurs côtés correspondants doit être égal. Dans ce cas, les six huitièmes doivent être égaux aux quinze vingtièmes. Nous pouvons simplifier la première fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Cela signifie que les six huitièmes dans sa forme la plus simple représentent les trois quarts. 15 et 20 ont un facteur commun le plus élevé de cinq. Par conséquent, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par cinq. Cela nous donne également les trois quarts. Comme le rapport des côtés correspondants se simplifie en la même fraction, nous savons que les deux rectangles sont semblables. Nous allons maintenant examiner certaines questions en utilisant les propriétés de polygones semblables pour résoudre des expressions et des équations.

Étant donné que les deux polygones sont semblables, trouvez la valeur de 𝑥.

Lorsque nous traitons une question impliquant des polygones semblables, nous savons que les angles correspondants sont superposables ou identiques et que les côtés correspondants sont proportionnels. Une paire de côtés correspondants sont 𝐽𝑊 et 𝑅𝑆. Une deuxième paire de côtés correspondants sont 𝐶𝐽 et 𝑃𝑅. Comme les côtés correspondants sont proportionnels, nous savons que leurs rapports sont les mêmes. Deux 𝑥 plus six sur sept 𝑥 moins sept doivent être égaux à 24 sur 28.

Afin de trouver la valeur de 𝑥, nous pourrions croiser multiplier à ce stade. Cependant, il est plus facile de simplifier d’abord nos fractions. Nous pouvons factoriser le numérateur et le dénominateur de la fraction de gauche. Deux 𝑥 plus six deviennent deux multipliés par 𝑥 plus trois. Et sept 𝑥 moins sept devient sept multiplié par 𝑥 moins un. Diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction de droite par quatre nous donne six sur sept car 24 divisé par quatre est six et 28 divisé par quatre est égal à sept.

Les dénominateurs des deux côtés sont divisibles par sept. Et les numérateurs sont divisibles par deux. Cela nous laisse avec une équation simplifiée de 𝑥 plus trois sur 𝑥 moins un est égal à trois. Nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par 𝑥 moins un. La distribution des parenthèses nous donne 𝑥 plus trois est égal à trois 𝑥 moins trois. Nous pouvons ensuite soustraire 𝑥 et ajouter trois des deux côtés de l’équation. Cela nous donne six est égal à deux 𝑥. Enfin, la division des deux côtés par deux nous donne 𝑥 est égal à trois.

Si les deux polygones sont semblables, la valeur de 𝑥 est de trois. Nous pouvons vérifier cela en substituant trois dans les expressions pour la forme plus petite. Deux multiplié par trois est égal à six, et en ajoutant six à cela nous donne 12. Sept multiplié par trois est égal à 21 et en soustrayant sept nous donne 14. Il est donc clair que nos deux polygones sont semblables avec un facteur d’échelle de deux comme 12 multiplié par deux est 24 et 14 multiplié par deux est 28.

Nous allons maintenant examiner un deuxième exemple semblable.

Étant donné que 𝑄𝑅𝑃𝑀 est semblable à 𝑆𝑉𝑍𝑊, trouvez la valeur de 𝑥.

Notez que le symbole d’approximation signifie ici que les deux rectangles sont semblables. Lorsque deux polygones sont semblables, nous savons que leurs côtés correspondants sont proportionnels. Dans cette question, nous avons les côtés correspondants 𝑄𝑀 et 𝑆𝑊 avec 𝑀𝑃 et 𝑊𝑍. Cela signifie que le rapport de six 𝑥 moins 16 à 13 sera le même que neuf 𝑥 moins 33 à 15. L’écriture sous forme fractionnaire nous donne six 𝑥 moins 16 sur neuf 𝑥 moins 33 est égal à 13 sur 15.

Afin de calculer 𝑥, nous pourrions croiser multiplier immédiatement. Cependant, il est souvent utile d’essayer de simplifier d’abord les fractions. Le numérateur et le dénominateur sur le côté gauche peuvent être factorisés. Six 𝑥 moins 16 est égal à deux multiplié par trois 𝑥 moins huit. Et neuf 𝑥 moins 33 est égal à trois multiplié par trois 𝑥 moins 11. Les dénominateurs ont un facteur commun de trois, nous pouvons donc les diviser par trois.

La multiplication croisée à ce stade nous donne 10 multiplié par trois 𝑥 moins huit est égal à 13 multiplié par trois 𝑥 moins 11. Nous obtenons le 10 en multipliant cinq par deux. La redistribution de nos parenthèses nous donne 30𝑥 moins 80 est égal à 39𝑥 moins 143. L’ajout de 143 aux deux côtés de cette équation nous donne 30𝑥 plus 63 est égal à 39𝑥. La soustraction de 30𝑥 des deux côtés nous donne 63 est égal à neuf 𝑥. Enfin, diviser les deux côtés de cette équation par neuf nous donne une valeur de 𝑥 égale à sept.

Nous pouvons alors vérifier cette réponse en substituant 𝑥 égal à sept dans nos expressions sur le premier rectangle. Six multiplié par sept est égal à 42, et la soustraction de 16 nous donne 26. Neuf multiplié par sept est égal à 63. La soustraction de 33 nous donne 30. Nous pouvons donc voir que notre premier rectangle est deux fois l’aire de notre deuxième rectangle comme 26 est double 13 et 30 est double 15. Le facteur d’échelle pour passer du rectangle 𝑄𝑅𝑃𝑀 à 𝑆𝑉𝑍𝑊 est un demi car les côtés correspondants du deuxième rectangle ont la moitié de l’aire du premier.

Nous allons maintenant examiner une question où il n’est pas si clair de quels côtés il s’agit.

Étant donné que les deux polygones sont semblables, trouvez la valeur de 𝑥.

Nous savons que tous les polygones semblables ont des angles correspondants qui sont superposables et des côtés correspondants qui sont proportionnels. En raison de l’orientation de ces figures, il peut ne pas être immédiatement évident de savoir quels côtés correspondent. Pour résoudre ce problème, il est utile d’identifier d’abord les angles correspondants. Une paire de côtés correspondants sont 𝐵𝐶 et 𝑇𝐻. Une deuxième paire de côtés correspondants est donc 𝐶𝐷 et 𝐻𝐽.

Comme les côtés correspondants sont proportionnels, nous savons que les rapports deux sur six et quatre 𝑥 moins 37 sur deux 𝑥 moins 11 doivent être égaux. En écrivant ceci sous forme fractionnaire, nous avons deux sur quatre 𝑥 moins 37 est égal à six sur deux 𝑥 moins 11. Les deux numérateurs ici sont divisibles par deux. On peut alors croiser pour nous donner un multiplié par deux 𝑥 moins 11 est égal à trois multiplié par quatre 𝑥 moins 37.

La distribution de nos parenthèses nous donne deux 𝑥 moins 11 est égal à 12𝑥 moins 111. L’ajout de 111 aux deux côtés de cette équation nous donne deux 𝑥 plus 100 est égal à 12𝑥. Nous pouvons ensuite soustraire deux 𝑥 des deux côtés de cette équation, ce qui nous donne 100 est égal à 10𝑥. Enfin, diviser les deux côtés de cette équation par 10 nous donne une valeur de 𝑥 égale à 10.

Nous pouvons ensuite remplacer cette valeur dans les expressions pour les longueurs de 𝐵𝐶 et 𝑇𝐻 pour vérifier notre réponse. Quatre multiplié par 10 est égal à 40. Soustraire 37 de cela nous donne trois. Deux multipliés par 10 est égal à 20, et en soustrayant 11 nous donne neuf. Les rapports deux à six et trois à neuf sont identiques car ils peuvent tous deux être simplifiés en un pour trois.

Une autre méthode dans cette question serait de reconnaître initialement que le facteur d’échelle était de trois. En effet, la longueur 𝐽𝐻 est trois fois la longueur 𝐶𝐷. On aurait alors pu établir l’équation deux 𝑥 moins 11 est égal à trois multiplié par quatre 𝑥 moins 37 car la longueur 𝑇𝐻 est trois fois la longueur 𝐵𝐶. En suivant cette méthode, nous aurions également obtenu une valeur de 𝑥 égale à 10.

Nous allons maintenant examiner une dernière question où il y a deux inconnues.

Étant donné que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝐸𝐹𝐺𝐻, trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Nous savons que dans tout polygone semblable, les côtés correspondants sont proportionnels. Cela signifie que notre première étape consiste à identifier les côtés correspondants. Le côté 𝐶𝐷 correspond à 𝐺𝐻, 𝐴𝐷 correspond à 𝐸𝐻 et 𝐵𝐶 correspond à 𝐹𝐺. Cela signifie que le rapport de ces trois côtés doit être égal. Les rapports 10 à cinq, huit à deux 𝑦 moins 14 et 𝑥 à huit doivent tous être égaux. Nous pourrions les configurer sous forme fractionnaire pour calculer la valeur de 𝑥 et 𝑦. Cependant, il ressort clairement du premier rapport que cela se simplifie en deux pour un. Cela signifie que toutes les longueurs du deuxième trapèze seront la moitié des longueurs du premier trapèze. Le facteur d’échelle pour passer du trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝐸𝐹𝐺𝐻 est un demi.

On peut donc dire que deux 𝑦 moins 14 est égal à un demi de huit et un demi de huit vaut quatre. Ajouter 14 aux deux côtés de cette équation nous donne deux 𝑦 est égal à 18. La division par deux nous donne 𝑦 est égal à neuf. Nous pouvons utiliser la même méthode pour calculer la valeur de 𝑥. La longueur 𝐺𝐻, qui est égale à huit, est la moitié de la valeur de 𝐶𝐷, qui est 𝑥. La multiplication des deux côtés de cette équation par deux nous donne 16 est égal à 𝑥. Les valeurs manquantes sont 𝑥 égal à 16 et 𝑦 égal à neuf.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Premièrement, nous savons que les angles correspondants dans des polygones semblables sont superposables. Les côtés correspondants sont en revanche proportionnels. On peut penser à des polygones semblables comme agrandis ou rétrécis. Et le rapport d’un côté correspondant à l’autre est le facteur d’échelle. Ce facteur d’échelle sera le même pour tous les côtés correspondants du polygone. Nous pouvons utiliser notre connaissance des rapports et des fractions pour établir des équations qui peuvent être résolues. Cela nous permet de calculer toutes les variables sur les longueurs des côtés de nos polygones. Afin de prouver que deux ou plusieurs polygones sont semblables, nous devons montrer que les rapports des côtés correspondants sont égaux.