Transcription de la vidéo
Un ballon-sonde a un volume initial de 1,2 mètre cube, une pression initiale de 102 kilopascals et une température initiale de 290 kelvins. Lorsqu’il est haut dans les airs, le ballon a un volume de 1,0 mètres cubes, une pression de 96 kilopascals et une température de 240 kelvins. Quel pourcentage du gaz dans le ballon a fui ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Disons qu’au départ, notre ballon météo est ici au niveau du sol. À cet endroit, le ballon occupe un volume, nous l’appellerons 𝑉 un. Il a une pression, nous l’appellerons 𝑃 un, et une température, nous l’appellerons 𝑇 un. Plus tard, lorsque le ballon s’est élevé dans les airs, il a un nouveau volume, une nouvelle pression et une nouvelle température, nous les appellerons respectivement 𝑉 deux, 𝑃 deux et 𝑇 deux. Au cours de ce changement d’altitude, une partie du gaz dans le ballon a fui. Pour commencer à déterminer quelle quantité, supposons que l’air dans le ballon puisse être traité comme un gaz parfait. Cela signifie que cet air est décrit par la loi des gaz parfaits. Cela signifie que la pression d’un gaz multipliée par son volume est égale au nombre de moles du gaz multiplié par une constante multipliée par la température du gaz.
Appliquons la loi des gaz parfaits à notre ballon à deux instants différents. Au premier instant, lorsque le ballon était au niveau du sol, nous avons 𝑃 un fois 𝑉 un égale 𝑛 un fois 𝑅 fois 𝑇 un. Notez que toutes ces valeurs ont un indice sauf 𝑅 qui est la constante des gaz parfaits et est donc toujours la même. Nous pouvons écrire une équation similaire, mais maintenant, lorsque le ballon est haut dans les airs. Cette équation que nous voyons utilise 𝑉 deux, 𝑃 deux et 𝑇 deux. Dans cette question, nous cherchons à déterminer le pourcentage de gaz qui a fui. La variable de la loi des gaz parfaits qui nous indique la quantité de gaz est 𝑛, le nombre de moles du gaz.
Pour répondre à notre question, nous voulons comparer 𝑛 un, le nombre de moles de gaz dans le ballon lorsqu’il était au niveau du sol, à 𝑛 deux, le nombre de moles de gaz dans le ballon quand il était en hauteur. Avec cet objectif en tête, réorganisons ces deux équations de sorte que 𝑛 un et 𝑛 deux soient les sujets respectifs. Dans l’équation de gauche, nous allons diviser les deux côtés par 𝑅 fois 𝑇 un. Cela provoque l’annulation de la constante de gaz 𝑅 et de la température 𝑇 un sur la droite. Nous trouvons alors que 𝑛 un est égal à 𝑃 un 𝑉 un divisé par 𝑅 fois 𝑇 un.
De même, nous divisons les deux côtés de l’équation de droite par 𝑅 fois 𝑇 deux. Cela annule ces deux facteurs sur le côté droit et nous donne une expression pour 𝑛 deux. Maintenant que nous avons des expressions pour 𝑛 un et 𝑛 deux, examinons comment comparer ces valeurs afin de pouvoir exprimer la différence entre elles en pourcentage. Comme on nous dit que du gaz s’est échappé du ballon lorsqu’il est passé de sa plus basse altitude à sa plus haute altitude, nous savons que 𝑛 un, le nombre de moles de gaz dans le ballon au niveau du sol, sera supérieur à 𝑛 deux, le nombre de moles de gaz dans le ballon quand il est dans les airs.
On peut alors penser que 𝑛 un représente 100 pour cent du gaz. C’est-à-dire que c’est notre ligne de base par rapport à laquelle nous comparerons 𝑛 deux. Ce que nous allons faire, c’est trouver la différence en pourcentage entre 𝑛 un et 𝑛 deux, où 𝑛 un, comme nous l’avons dit, est notre base. Nous pouvons écrire une équation pour la différence en pourcentage de cette façon : la plus grande valeur moins la plus petite valeur, le tout divisé par notre valeur de base 𝑛 un, puis multiplié par 100 pour cent. En utilisant cette relation, nous calculons la variation en pourcentage entre 𝑛 un et 𝑛 deux.
Pour commencer, notons certaines des informations qui nous sont données dans notre problème. On nous dit, par exemple, que ce ballon a un volume initial de 1,2 mètres cubes, c’est 𝑉 un, une pression initiale de 102 kilopascals, c’est 𝑃 un, et une température initiale 𝑇 un de 290 kelvins. Une fois qu’il est haut dans les airs, le ballon a un nouveau volume de 1,0 mètres cubes, c’est 𝑉 deux, une nouvelle pression de 96 kilopascals, c’est 𝑃 deux, et une nouvelle température 𝑇 deux de 240 kelvins. En dégageant de l’espace en haut de notre écran, nous pouvons réécrire notre équation pour la différence en pourcentage, puis remplacer 𝑃 un 𝑉 un sur 𝑅 fois 𝑇 un pour 𝑛 un et 𝑃 deux 𝑉 deux divisé par 𝑅 fois 𝑇 deux pour 𝑛 deux.
Notez que les deux termes de notre numérateur ont un sur 𝑅, la constante des gaz parfaits. Cela signifie que nous pouvons factoriser un sur 𝑅. Et puis nous voyons que un sur 𝑅 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. On peut donc annuler la constante de gaz parfaits 𝑅. Notre équation se réduit à cette expression. Pour notre prochaine étape, nous allons insérer toutes ces valeurs connues. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons cette grande équation. Dans cette équation, 𝑉 un est de 1,2 mètres cubes, 𝑃 un est de 102 kilopascals, 𝑇 un est de 290 kelvins, 𝑉 deux est de 1,0 mètres cubes, 𝑃 deux est de 96 kilopascals, et 𝑇 deux est de 240 kelvins.
Lorsque nous pensons aux unités de cette expression, notez que les termes de notre numérateur et ceux du dénominateur ont tous la même unité, kilopascals fois mètres cubes divisé par kelvin. Cela signifie en fait que toutes ces unités s’annuleront. Notre réponse finale sera un pourcentage sans unité attachée. Lorsque nous calculons cette expression entière et arrondissons notre résultat une décimale près, nous obtenons 5,2 pour cent. Il s’agit du pourcentage de gaz qui s’est échappé du ballon en montant de son altitude la plus basse à son altitude la plus haute.
