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Écrivez une expression générale des racines de 𝑧 puissance 𝑛 égale un en donnant votre réponse sous la forme trigonométrique.
Nous commençons par rappeler que si 𝑧 est une racine 𝑛-ième de l’unité, alors 𝑧 vérifie la relation 𝑧 puissance 𝑛 égale un. Pour résoudre cette équation et déterminer 𝑧, nous pouvons utiliser la formule de Moivre, qui nous donne la forme générale des racines 𝑛-ièmes de l’unité. D’après la formule de Moivre, pour un nombre complexe 𝑧 de la forme 𝑟 multiplié par cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, les racines 𝑛-ièmes de 𝑧 sont données par 𝑟 puissance un sur 𝑛 multiplié par cosinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, pour 𝑘 égal à zéro, un, deux et ainsi de suite jusqu’à 𝑛 moins un.
Notre équation est 𝑧 puissance 𝑛 égale un, nous allons donc commencer par réécrire le nombre un sous la forme polaire. La partie réelle de un est un et sa partie imaginaire est nulle. Ainsi, le nombre un peut être représenté dans le plan complexe par le point de coordonnées cartésiennes un, zéro. Le module 𝑟 de ce nombre est la longueur du segment qui relie ce point à l’origine du repère, donc 𝑟 est égal à un. L’argument 𝜃 est la mesure de l’angle entre ce segment et l’axe des réels positifs, où l’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous voyons clairement sur le diagramme que 𝜃 est égal à zéro. Nous en déduisons que sous forme polaire, ou trigonométrique, le nombre un peut s’écrire un multiplié par cosinus zéro plus 𝑖 sinus zéro. Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équation d’origine sous cette forme.
Pour résoudre cette équation et trouver nos racines, nous allons élever les deux membres de l’équation à la puissance un sur 𝑛. 𝑧 puissance 𝑛 puissance un sur 𝑛 est simplement égal à 𝑧. Nous pouvons maintenant appliquer la formule de Moivre au membre de droite. Le module devient un puissance un sur 𝑛. Puis, 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 devient zéro plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 et nous obtenons l’expression de 𝑧 suivante. Nous simplifions cette expression en remarquant que un puissance un sur 𝑛 est simplement égal à un et que zéro plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 est simplement égal à deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Nous avons donc résolu l’équation en trouvant les racines des valeurs possibles de 𝑧.
L’expression générale de ces racines est cosinus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend les valeurs entières entre zéro et 𝑛 moins un.
