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Déterminez l’équation paramétrique de la droite qui passe par le milieu du segment 𝐴𝐵, où 𝐴 est le point de coordonnées deux, moins un et 𝐵 est le point de coordonnées quatre, trois, et le point de coordonnées deux, moins trois. Est-ce l’option (A), 𝑥 égale un moins quatre 𝑘 et 𝑦 égale trois moins 𝑘 ? Est-ce l’option (B), 𝑥 égale à trois plus 𝑘 et 𝑦 est égale à un moins quatre 𝑘 ? Est-ce l’option (C), 𝑥 égale à trois moins 𝑘 et 𝑦 est égale à un moins quatre 𝑘 ? Est-ce l’option (D), 𝑥 égale à trois moins 𝑘 et 𝑦 est égale à un plus quatre 𝑘 ? Est-ce l’option (E) 𝑥 égale à moins trois moins 𝑘 et 𝑦 est égal à moins un moins quatre 𝑘 ?
Dans cette question, on nous demande de trouver l’équation paramétrique d’une droite. Commençons donc par rappeler ce que nous entendons par l’équation paramétrique d’une droite. Il s’agit de deux équations de la forme 𝑥 est égal à 𝑥 indice zéro plus 𝑎 fois 𝑘 et 𝑦 est égal à 𝑦 indice zéro plus 𝑏 multiplié par 𝑘, où le point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro est tout point situé sur la droite et le vecteur 𝐚𝐛 est tout vecteur non nul et parallèle à la droite. Cela signifie que nous pouvons trouver une infinité d’équations paramétriques représentant la même droite, puisque nous pouvons choisir n’importe quel point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro qui se trouve sur la droite et nous pouvons choisir n’importe quel vecteur z qui est parallèle à la droite.
Nous pouvons commencer par noter qu’on nous dit que la droite passe par le point de coordonnées deux, moins trois. Nous pourrions donc définir 𝑥 indice zéro égal à deux et 𝑦 indice zéro égal à moins trois. Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant si nous examinons nos options. Dans les cinq options données, nous pouvons voir que ce n’est pas le point donné comme 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro. Donc, bien que nous puissions choisir ceci pour notre point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro, ce ne sera pas l’une des cinq options données. Utilisons donc un autre point.
Nous pouvons également noter que la droite passe par le milieu du segment de droite 𝐴𝐵. Trouvons donc les coordonnées du milieu du segment de droite 𝐴𝐵. Nous appellerons ce point 𝐶. Nous pouvons trouver les coordonnées du milieu d’un segment de droite en utilisant les coordonnées de ses extrémités en calculant simplement la moyenne des coordonnées 𝑥 et des coordonnées 𝑦. La moyenne des coordonnées 𝑥 des points 𝐴 et 𝐵 est deux plus quatre sur deux. La moyenne des coordonnées 𝑦 des points 𝐴 et 𝐵 est moins un plus trois sur deux. Nous pouvons évaluer ces deux éléments. Nous obtenons que 𝐶 est le point trois, un.
Rappelez-vous que notre droite passe par le point de coordonnées trois, un. Nous pouvons donc définir 𝑥 indice zéro égal à trois et 𝑦 indice zéro égal à un dans notre équation paramétrique. Nous n’avons pas encore terminé. Nous devons également trouver le vecteur parallèle à la droite. Pour ce faire, nous devons noter que notre droite passe par le point 𝐶 et qu’elle passe également par le point avec les coordonnées deux, moins trois. Si nous ajoutons ce point sur notre figure et que nous ajoutons également le segment entre le point 𝐶 et le point deux, moins trois, nous obtenons ceci. Puisque nous avons les extrémités de ce segment, nous pouvons l’utiliser pour déterminer un vecteur parallèle à cette droite.
Nous pouvons simplement prendre la différence entre les vecteurs position des deux extrémités. Cependant, l’ordre dans lequel nous les choisissons déterminera la direction vers laquelle notre vecteur est tourné. Par exemple, nous pouvons choisir que ce vecteur se termine au point deux, moins trois. Par exemple, si nous appelons ce vecteur 𝐝, alors nous pouvons trouver les composantes du vecteur 𝐝 en soustrayant le vecteur de position du point initial de ce vecteur du vecteur de position de son point terminal. 𝐝 est le vecteur deux, moins trois moins le vecteur trois, un. Nous évaluons la soustraction de vecteurs composante par composante. 𝐝 est le vecteur deux moins trois, moins trois moins un, que nous pouvons évaluer en le vecteur moins un, moins quatre.
Avant d’utiliser ces valeurs comme 𝑎 et 𝑏, il convient de noter que nous pouvons choisir n’importe quel multiple scalaire non nul de ce vecteur, car il sera toujours parallèle à la droite. Par exemple, nous pouvons choisir le vecteur un, quatre, puis, en multipliant ce vecteur par moins un, nous pouvons également considérer comme exact le résultat obtenu ; il s’agit du cas où nous choisissons nos points dans l’ordre opposé, en d’autres termes, en changeant la valeur de la direction du vecteur 𝐝.
Cependant, rien de tout cela n’est nécessaire. Si nous regardons l’option (C), nous pouvons voir que le point qui se trouve sur la droite est le point trois, un, que nous avons trouvé comme étant le point 𝐶. Le vecteur directeur de la droite, que nous trouvons en regardant les coefficients de nos paramètres, est moins un, moins quatre. Ainsi, si nous définissons 𝑥 indice zéro égal à trois, 𝑦 indice zéro égal à un, 𝑎 égal à moins un et 𝑏 égal à moins quatre, nous obtenons l’équation paramétrique 𝑥 est égal à trois moins 𝑘 et 𝑦 est égal à un moins quatre 𝑘, soit l’option (C).
