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Déterminez le rang du terme seize trente-neuvièmes dans la suite géométrique un sur 156, moins un sur 78, un sur 39…
Si nous commençons par énumérer cette suite géométrique, nous savons que seize trente-neuvièmes se trouve quelque part dans la suite. Si un sur 156 est le premier terme et moins un sur 78 est le deuxième terme, il y a une certaine valeur 𝑟 par laquelle nous multiplions le premier terme pour obtenir le deuxième terme. La même chose est vraie pour le troisième terme. Nous pouvons prendre le deuxième terme, le multiplier par la même valeur 𝑟 et obtenir le troisième terme. Cette valeur, lorsque nous travaillons avec des suites géométriques, est appelée la raison. Nous utilisons la formule 𝑎 indice 𝑛 égale 𝑎 indice un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un.
Cela signifie que si nous connaissons le premier terme et la raison, nous pouvons trouver n’importe quel terme de la suite. Puisque nous connaissons le deuxième et le premier terme, nous pouvons utiliser cette formule pour nous aider à trouver la raison. Le deuxième terme est égal au premier terme multiplié par la raison à la puissance deux moins un qui est simplement la raison, la raison à la puissance un. Cela signifie que moins un sur 78 est égal à un sur 156 fois 𝑟, ce qui, lorsque nous simplifions, est égal à 𝑟 sur 156. Afin de résoudre pour 𝑟 ici, nous multiplions les deux côtés de l’équation par 156.
À droite, cela se simplifie pour donner 𝑟. Moins 156 sur 78 égale moins deux. La raison pour cette suite est moins deux. En utilisant cette information, nous pouvons maintenant déterminer le rang du terme 16 sur 39. Nous savons, pour cette suite géométrique, que 𝑎 indice 𝑛 est égal au premier terme fois moins deux à la puissance 𝑛 moins un. Si nous substituons 16 sur 39 pour 𝑎 indice 𝑛 et un sur 156 pour le premier terme, pour résoudre le problème nous devons alors isoler ce 𝑛.
Si nous multiplions un par moins deux à la puissance 𝑛 moins un, nous pouvons réécrire notre problème comme ceci. Encore une fois, nous multiplions les deux côtés de l’équation par 156. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 64 égale moins deux puissance 𝑛 moins un, ce qui, à première vue, semble très difficile à résoudre. Vous pourriez penser que nous pourrions résoudre ce problème avec un logarithme, mais nous ne pouvons pas le faire parce que nous travaillons avec une base négative. Mais nous sommes sur la bonne voie. Pouvons-nous réécrire 64 avec une base de moins deux à un exposant ?
Nous savons que nous ne traiterons que des exposants pairs. Sinon, cela ne produirait pas le nombre positif 64. Alors qu’en est-il de moins deux puissance quatre ? Cela ne vaut que 16. Nous augmentons donc de deux pour garder notre exposant pair. Moins deux puissance six est vraiment égal à 64. Puisque c’est le cas, nous pouvons réécrire 64 en moins deux puissance six. Maintenant que les deux côtés de notre équation ont la même base, nous pouvons la résoudre en définissant leurs exposants égaux. Six égale 𝑛 moins un.
Cela signifie que 𝑛 est égal à sept. Que signifie exactement ce sept ? Cela signifie que 16 sur 39 est 𝑎 indice sept. Il s’agit du septième terme de cette suite géométrique. Puisque notre question ne demande que le rang du terme, la réponse finale est sept. Il s’agit du septième terme.
