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Quel est le volume maximal d’un cylindre de révolution dont l’aire de sa surface totale est 24𝜋 centimètres carrés? Donnez votre réponse en fonction de 𝜋.
Ce problème concerne un cylindre de révolution, aussi appelé cylindre circulaire droit, dessinons-en donc un. Et que nous dit-on à propos de ce cylindre circulaire droit? L’information donnée est qu’il a une aire de 24𝜋 centimètres carrés. Mais il existe de nombreux cylindres circulaires droits dont l’aire est 24𝜋 centimètres carrés. Certains seront longs et fins, et certains seront courts et larges. Notre tâche est de trouver le volume maximum qu’un tel cylindre peut avoir.
Ceci est un problème d’optimisation que vous pouvez imaginer rencontrer dans la vie courante, on vous donne une certaine quantité de tôle, 24𝜋 centimètres carrés pour être précis, et vous devez faire la plus grande boîte de conserve possible en utilisant cette tôle. Commençons par introduire quelques variables. Nous appellerons le rayon du cylindre circulaire droit 𝑟. Et nous appellerons la hauteur du cylindre circulaire droit ℎ. Les valeurs de 𝑟 et ℎ déterminent complètement la taille et la forme de notre cylindre circulaire droit. Et nous pouvons écrire l’aire et le volume de notre cylindre en fonction de 𝑟 et ℎ.
L’aire du cylindre est de deux 𝜋𝑟 carré plus deux 𝜋𝑟ℎ. Les deux 𝜋𝑟 carré proviennent des deux faces planes de notre cylindre, le haut et le bas de la boîte de conserve, si vous le voulez, qui sont tous deux des disques de rayon 𝑟. Le deux 𝜋𝑟ℎ est l’aire incurvée restante de la boîte, où l’étiquette serait appliquée. Vous pouvez imaginer qu’enlever cette étiquette et l’aplatir en un rectangle de largeur deux 𝜋𝑟 et de hauteur ℎ, ce qui explique pourquoi l’aire incurvée est deux 𝜋𝑟 fois ℎ.
Nous avons également une formule pour le volume d’un cylindre circulaire droit de rayon 𝑟 et de hauteur ℎ : c’est l’aire de la base du cylindre circulaire droit 𝜋𝑟 carré fois la hauteur du cylindre ℎ. Rappelez-vous que le volume 𝑉 est une quantité que nous voulons maximiser. Si nous avions 𝑉 en fonction d’une variable, nous pourrions utiliser des techniques d’analyse pour trouver le maximum de cette fonction sur un intervalle donné.
Malheureusement, nous n’avons pas 𝑉 en termes d’une seule variable qui le rendrait fonction de cette variable. Nous l’avons en termes à la fois 𝑟 et ℎ. Mais il y a une information que nous n’avons pas encore utilisée : l’aire du cylindre circulaire droit est de 24𝜋 centimètres carrés. En utilisant l’expression de l’aire 𝐴 en termes de 𝑟 et ℎ, nous trouvons, en centimètres, que deux 𝜋𝑟 carré plus deux 𝜋𝑟ℎ égale 24𝜋.
Nous pouvons diviser par deux 𝜋 des deux côtés pour trouver que 𝑟 carré plus 𝑟ℎ égale 12. Bien, nous avons trouvé une relation entre les variables 𝑟 et ℎ. Mais comment cela nous aide-t-il à maximiser le volume 𝑉 est égal à 𝜋𝑟 carré fois ℎ, ce qui est après tout ce que nous essayons de faire ? Eh bien, nous pouvons utiliser cette relation pour écrire ℎ en fonction de 𝑟. Et en substituant cette expression à ℎ, nous aurons 𝑉 en fonction de 𝑟 seul, 𝑉 en fonction de 𝑟, que nous saurons alors maximiser.
Alors faisons cela. Nous soustrayons 𝑟 carré des deux côtés. Et en divisant par 𝑟, nous trouvons ℎ en fonction de 𝑟 : ℎ est égal à 12 moins 𝑟 carré sur 𝑟. Nous substituons cette expression à ℎ en fonction de 𝑟 dans la formule du volume de 𝑉. Nous avons maintenant 𝑉 en fonction de 𝑟 : 𝑉 est égal à 𝜋𝑟 carré fois 12 moins 𝑟 carré sur 𝑟. Et nous pouvons simplifier un peu pour trouver que 𝑉 est 𝜋𝑟 fois 12 moins 𝑟 carré.
Avant de penser à maximiser 𝑉, réfléchissons d’abord à la signification de cette relation. Ceci est la formule du volume d’un cylindre circulaire droit de surface 24𝜋. Étant donné tout cylindre circulaire droit d’aire 24𝜋, vous pouvez substituer son rayon à 𝑟 dans cette formule pour obtenir son volume. Bien, nous avons donc 𝑉 en fonction de 𝑟, et nous voulons maximiser 𝑉. C’est l’heure de l’analyse ! Mais attendez, sur quel intervalle de 𝑟 maximisons-nous 𝑉 ?
Rappelez-vous que 𝑟 est le rayon de notre cylindre circulaire droit. Et en tant que rayon, il doit être positif. Y a-t-il une limite supérieure pour 𝑟 ? Eh bien, c’est moins évident. Mais vous remarquerez peut-être que si 𝑟 est supérieur à la racine carrée de 12, alors 12 moins 𝑟 carré, et donc le volume, sera négatif. Et clairement, cela n’a pas de sens. Que se passe-t-il ici ? Eh bien, si 𝑟 est supérieur à la racine carrée de 12, alors l’aire des deux faces planes du cylindre circulaire droit, deux 𝜋𝑟 carré, est supérieure à 24𝜋.
Comme l’aire totale du cylindre est de 24𝜋 centimètres carrés, l’aire des faces planes doit certainement être inférieure à 24𝜋 centimètres carrés. Et donc 𝑟 doit être inférieur à racine de 12 centimètres, car l’aire courbe ne peut pas être négative. Alors quel est l’intervalle ? 𝑟 doit être compris entre zéro et racine carrée de 12. Et nous pouvons également considérer les cylindres de rayon zéro, bien qu’ils ne semblent pas très cylindriques car cela rend notre intervalle fermé.
Nous avons réussi à transformer ce problème de géométrie en un problème de maximisation d’une fonction sur un intervalle fermé. Maintenant nous pouvons appliquer la méthode de l’intervalle fermé. Pour trouver les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction sur un intervalle, vous trouvez les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités de l’intervalle. La plus grande de ces valeurs est le maximum absolu sur intervalle, et la plus petite est le minimum absolu.
Faisons de la place. Tout d’abord, trouvons les points critiques de la fonction, s’il y en a. Les points critiques sont les nombres pour lesquels la dérivée de la fonction 𝑉 par rapport à 𝑟 est nulle ou indéfinie. Nous devons donc dériver 𝑉 par rapport à 𝑟. Nous utilisons notre expression pour 𝑉 en fonction de 𝑟. Nous développons cette expression pour faciliter la dérivation. Ici, nous utilisons la formule pour la dérivée d’un nombre fois une puissance d’une variable par rapport à cette variable. Et cette formule fonctionne aussi bien pour 𝑟 que pour 𝑥.
En dérivant terme par terme, nous obtenons 12𝜋 moins trois 𝜋𝑟 carré. Et rappelez-vous, nous recherchons les points critiques : c’est-à-dire les valeurs de 𝑟 pour lesquelles la dérivée est nulle ou n’existe pas. Clairement, la dérivée existe pour tout nombre réel 𝑟. C’est juste une expression du second degré en 𝑟. Et donc nous n’avons qu’à nous soucier de trouver les valeurs de 𝑟 pour lesquelles la dérivée est nulle. En factorisant par trois 𝜋, nous voyons que la dérivée est trois 𝜋 fois quatre moins 𝑟 carré. Nous factorisons la différence de deux carrés en deux moins 𝑟 fois deux plus 𝑟. Et par conséquent, nous voyons que les points critiques sont deux et moins deux.
Bien, faisons de la place. Nous avons alors trouvé les points critiques et nous savons quels sont les extrémités de l’intervalle. Les extrémités sont zéro et racine de 12. Nous remarquons alors que l’un de nos points critiques, moins deux, n’est pas dans notre intervalle. Et donc nous n’avons pas besoin de le prendre en compte. Rappelez-vous que la méthode des intervalles fermés nous dit que l’un de ces nombres – deux, zéro ou racine carrée de 12 – est l’endroit où le maximum absolu de 𝑉 est atteint. Et l’un d’entre eux est celui où la valeur minimale absolue de 𝑉 sur l’intervalle est atteinte, même si cela nous intéresse moins.
Nous avons maintenant juste besoin d’évaluer 𝑉 pour chacune de ces valeurs de 𝑟. Commençons par deux. Lorsque 𝑟 égale deux, que vaut 𝑉 ? Nous substituons deux pour 𝑟 dans notre expression pour 𝑉 pour obtenir 𝜋 fois deux fois 12 moins deux au carré. En simplifiant et en réécrivant les unités, rappelez-vous que nous travaillons en centimètres et que le volume est en centimètres cubes, nous obtenons 16𝜋 centimètres cubes lorsque 𝑟 égale deux.
Qu’en est-il lorsque 𝑟 égale zéro ? Le volume 𝑉 est 𝜋 fois zéro fois 12 moins zéro au carré, ce qui en ajoutant les unités se simplifie en zéro centimètre cube. Cela n’est pas du tout surprenant : bien sûr, un cylindre circulaire droit de rayon zéro aura un volume nul ! Maintenant, qu’en est-il de l’autre extrémité, racine de 12 ? Nous obtenons 𝜋 fois racine de 12 fois 12 moins racine de 12 au carré. Nous avons un zéro entre les parenthèses, et donc le volume est nul ici aussi.
Si vous y réfléchissez, un rayon de racine de 12 centimètres force le cylindre circulaire droit à avoir une hauteur de zéro centimètre. Et encore une fois, il n’est pas surprenant que le volume soit nul. Nous avons trois volumes 𝑉 pour différents cylindres circulaires droits d’aire 24𝜋 centimètres carrés. Et la méthode des intervalles fermés nous dit que la plus grande de ces valeurs est le maximum absolu sur l’intervalle. C’est la valeur que nous recherchons, le volume maximal, 𝑉.
Clairement, la plus grande d’entre elles est 16𝜋 centimètres cubes. C’est le maximum absolu de la fonction 𝑉 de 𝑟 sur l’intervalle. Il s’agit donc du volume maximal d’un cylindre circulaire droit de 24𝜋 centimètres carrés. Récapitulons rapidement comment nous avons résolu ce problème. Nous avons remarqué que ce problème concernait un cylindre circulaire droit, donc nous en avons dessiné un, et nous avons posé les variables 𝑟 et ℎ. Nous avons constaté que l’information donnée était que l’aire de ce cylindre est de 24𝜋 centimètres carrés, et nous devions trouver le volume maximal.
Et nous avons exprimé ces quantités en fonction des variables que nous avons posées, 𝑟 et ℎ. Même si nous avions au départ le volume 𝑉 que nous voulions maximiser en termes à la fois de 𝑟 et ℎ, nous avons utilisé les informations données sur l’aire du cylindre pour écrire une relation entre 𝑟 et ℎ, donc écrit ℎ en fonction de 𝑟 puis 𝑉 en fonction de 𝑟 seul. Nous avons alors eu un problème d’analyse : nous avons voulu maximiser 𝑉, une fonction de 𝑟, sur un certain intervalle, que nous avons trouvé en considérant de nouveau le contexte.
Nous avons appliqué la méthode de l’intervalle fermé, en trouvant les points critiques de la fonction 𝑉 de 𝑟 en la dérivant puis en évaluant 𝑉 au point critique trouvé ainsi qu’aux extrémités de l’intervalle. La plus grande de ces valeurs, 16𝜋 centimètres cubes, est le maximum absolu de la fonction 𝑉 de 𝑟 sur l’intervalle de 𝑟. C’était une valeur pertinente. Il s’agit donc du volume maximal d’un cylindre circulaire droit dont l’aire est 24𝜋 centimètres carrés.
