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Vidéo de question : Déterminer la racine 𝑛-ième d’un nombre Mathématiques

Complétez ce qui suit : la racine sixième de 64=∛_.

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Transcription de vidéo

Complétez ce qui suit : la racine sixième de 64 est égale à la racine cubique de _.

Dans cette question, dans le membre de droite de l’équation, on a une valeur inconnue dont on prend la racine troisième, c’est-à-dire la racine cubique. Et la racine cubique de cette valeur inconnue est égale à la racine sixième de 64. Donc il serait peut-être judicieux de commencer par calculer la racine sixième de 64.

Écrire que la racine sixième de 64 est égale à cette valeur, qu’on note 𝑥, revient à prendre six 𝑥 et à les multiplier entre eux. Puis à écrire que ce produit est égal à 64. La question étant, quelle est la valeur de 𝑥 ? On peut tester différentes valeurs de 𝑥, en commençant par exemple par la valeur un ; écrire la valeur un six fois et multiplier le tout nous donne toujours la valeur un, et non pas la valeur 64 qu’on recherche.

Alors, qu’obtiendrait-on avec 𝑥 égale deux ? Il existe différentes façons de calculer cela, mais il faut bien garder en tête qu’il ne s’agit pas de multiplier six par deux. On peut commencer par multiplier les deux premiers deux ensemble, ce qui nous donne quatre. Puis on peut multiplier ce résultat par le troisième deux, ce qui fait huit. On remarque alors qu’on a encore deux fois deux fois deux, ce qui nous donne à nouveau huit, et il suffit ensuite de multiplier huit par huit pour obtenir notre résultat, 64.

Donc, on a calculé que la racine sixième de 64 est égale à deux. Cela signifie que le membre gauche de notre équation est égal à deux, et donc que le membre de droite est aussi égal à deux. Dans les problèmes de ce type, il serait incorrect d’utiliser la valeur trouvée à cette étape, ici la valeur deux, pour compléter l’espace vide sous la racine.

En effet, c’est l’expression entière du membre de droite qui est égale à deux, donc il faut trouver la valeur qui nous donne deux lorsqu’on prend sa racine cubique. L’inverse de prendre la racine cubique est le fait d’élever au cube, donc il nous faut calculer deux à la puissance trois. C’est égal à huit, car deux fois deux fois deux font huit. Par conséquent, notre valeur manquante est huit, car la racine sixième de 64 est égale à deux et la racine cubique de huit est aussi égale à deux.

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